Решение типовых примеров

1.Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения . Проанализировать возможность резонанса.

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид .

Правая часть данного уравнения , не является корнем характеристического уравнения, то следует искать в виде

.

Найдем и . Для этого вычислим и .

; .

Подставляя , и в исходное уравнение, получим

;

.

Приравнивая коэффициенты синусах и косинусах в правой и левой части, получим систему уравнений

откуда находим ; .

Таким образом, , а общее решение уравнения будет

.

Система, которая описывается данным уравнением, носит колебательный характер, что видно из общего решения уравнения.

Первое слагаемое общего решения – затухающие колебания, а второе слагаемое – вынужденное колебание.

Так как частота собственных колебаний близка к частоте внешней возмущающей силы , отношение находится в интервале и сопротивление среды мало , то система находится в околорезонансном состоянии.

2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения . Проанализировать возможность резонанса.

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Правая часть данного уравнения , не является корнем характеристического уравнения, то следует искать в виде

.

Найдем и . Для этого вычислим и .

;

.

Подставляя , и в исходное уравнение, получим

;

;

; .

Таким образом,

,

а общее решение данного уравнения будет

.

Система, которая описывается данным уравнением, носит колебательный характер, что видно из общего решения уравнения.

Первое слагаемое общего решения – затухающие колебания, а второе слагаемое – вынужденное колебание.

Не смотря на то, что частота собственных колебаний близка к частоте внешней возмущающей силы , отношение , сопротивление среды велико , и резонанса не будет.

3. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения . Проанализировать возможность резонанса.

Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни k =  i, поэтому общее решение однородного уравнения запишется в виде

Правая часть данного уравнения , является корнем характеристического уравнения, поэтому ищем в виде

.

Для определения коэффициентов и находим и .

;

.

Подставляя , и в исходное уравнение, получим

.

;

; .

Следовательно, у* = – частное решение, а

– общее решение данного уравнения.

Система, которая описывается данным уравнением, как видно из общего решения, носит колебательный характер.

Первое слагаемое в общем решении определяет свободные гармонические колебания с частотой  = 1, а второе – вынужденные колебания с амплитудой .

Так как частота свободных колебаний совпадает с частотой вынужденных колебаний , а сопротивление среды отсутствует, то в системе наступает резонанс.