Решение типовых примеров по Заданию 7

7.1. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциаль-ного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение. Найдем общее решение однородного уравнения с теми же коэффициентами, что и в левой части заданного уравнения:

Так как корни его характеристического уравнения

, действительные и различны, и выполняется условие , то общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

,

где , – произвольные постоянные.

Правая часть данного уравнения . Поскольку ; ; , то частное решение ищем в виде

.

Найдем производные и

;

.

Подставляя , и в исходное уравнение и сокращая все слагаемые на множитель , получаем

,

или после упрощения

.

Приравнивая коэффициенты при неизвестных с одинаковыми степенями, имеем

; .

Таким образом, общее решение заданного неоднородного дифферен-циального уравнения имеет вид

общее решение.

5. Применение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению колебательных процессов

Свободные колебания описывает однородное дифференциальное уравнение второго порядка

, (5.1)

а вынужденные колебания описывает неоднородное уравнение

, (5.2)

где отклонение груза от состояния равновесия в момент времени t;

коэффициент сопротивления;

коэффициент восстановления;

– внешняя возмущающая сила.

Рассмотрим возможные случаи:

Тело совершает свободные колебания и его движение описывается дифференциальным уравнением (5.1).

Характеристическое уравнение , корни которого . При этом возможно два случая:

1. Если b < , т.е. сопротивление среды мало, то корни будут комплексно-сопряженными , где .

Общее решение записывается в виде

, (5.3)

где и  – новые произвольные постоянные, связанные с и формулами , , , tg  = ,  = arctg .

Из формулы (5.3) видно, что в этом случае тело совершает колебания амплитуда которых  0 при t  . Такие колебания называются затухающими.

2. При b >  груз приближается к положению равновесия, не совершая колебаний.

Если возмущающая сила и сопротивление среды отсутствуют, т.е. и и , то уравнение (5.1) принимает вид

. (5.4)

Характеристическое уравнение имеет корни и общее решение его записывается в виде

, (5.5)

где и  – новые произвольные постоянные, связанные с и формулами , , , tg  = ,  = arctg .

Из формулы (5.5) следует, что в этом случае тело совершает свободные незатухающие гармонические колебания.

Если . Практический интерес представляет случай, когда , т.е. возмущающая внешняя сила является периодической, где а – её амплитуда, а – частота. Получим уравнение

, (5.6)

которое является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Общее решение уравнения (5.6)

.

Общее решение однородного уравнения (5.1) уже найдено (формула (5.3):

.

Осталось найти частное решение уравнения (5.6). Пусть b  0, и не является корнем характеристического уравнения .

Тогда и надо искать в виде

.

После нахождения коэффициентов Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. и и введения новых постоянных и ( , , где ), получим

.

Тогда общее решение уравнения (5.6) будет

. (5.7)

Первое слагаемое формулы (5.7) представляет затухающее колебание и через некоторое время им можно пренебречь.

После этого колебания будут только вынужденными

,

Если частота возмущающей силы близка к значению при малом значении коэффициента сопротивления , что означает  , т.е. частота внешней силы близка к собственной частоте, то воздействие силы, при малом сопротивлении среды может оказаться огромным и разруши-тельным.

Явление резкого возрастания амплитуды колебаний под влиянием даже совсем малых внешних воздействий, называется резонансом.

При проектировании различных механизмов принимают в расчёт сообра-жения о прочности, связанные с резонансом.

Заметим, что 0,75 < < 1,25 является резонансной зоной, в которой большую роль играет сопротивление среды, то есть, если при этом сопротивление среды , то система находится в околорезонансном состоянии, если резонанса не будет.

Пусть в уравнении (5.6) b = 0, т.е. сопротивление среды отсутствует, тогда оно примет вид

. (5.8)

Если частота возмущающей силы будет равна частоте собственных колебаний, т.е. = , то у* надо искать в виде

.

Определяя коэффициенты и , получим частное решение

и общее решение будет иметь вид

. (5.9)

Второе слагаемое в общем решении показывает, что при t  , амплитуда колебаний неограниченно возрастает, что и свидетельствует о резонансе.