4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным неоднородным уравнением второго порядка называется уравнение вида

, (4.1)

где непрерывная функция, и действительные числа.

Это уравнение отличается от однородного уравнения наличием в правой части некоторой известной функции .

Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравне-ния и частного решения неоднородного уравнения

В общем случае, когда функция любая, интегрирование уравнения может быть осуществлено методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа).

Для некоторых специальных функций частное решение можно найти не прибегая к методу вариации произвольных постоянных. По виду правой части можно заранее указать вид частного решения . Рассмотрим некоторые частные случаи:

1) , где многочлен ой степени. В частности, если , то , а если есть постоянная (многочлен нулевой степени), то показательная функция .

2) .

3) есть сумма указанных выше функций.

В этих случаях есть функция, подобная и отличается от нее только числовыми коэффициентами.

Написав по виду правой части выражение с неопределен-ными коэффициентами, находят производные , и подставляют , , в данное неоднородное уравнение. Сравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей, составляют систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов, решение которой и определяет частное решение неоднородного уравнения.