3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнения вида
, (3.1)
где
и
действительные числа, называется
линейным
однородным
дифференциальным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид
,
где
,
линейно
независимые частные решения искомого
уравнения,
и
произвольные постоянные.
Для
нахождения общего решения уравнения
надо составить характеристическое
уравнение, заменяя в данном уравнении
функцию
единицей, а ее производные соответствующими
степенями
,
а
затем найти его корни
и
.
Для отыскания частного решения необходимо найти постоянные интегрирования (задача Коши). Для этого требуется два начальных условия , , при , которые подставляются в соответ-ствующие уравнения для определения и .
В зависимости от значений корней характеристического уравнения возможны следующие общие решения дифференциального уравнения:
1. Если корни и характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение имеет вид
. (3.2)
2. Если
равные действительные корни, то общее
решение имеет вид
. (3.3)
3. Если
характеристическое уравнение имеет
пару комплексносопря-женных корней
,
то общее решение имеет вид
. (3.4)
Решение типовых примеров по Заданию 6
6.1.
Найти частное решение линейного
однородного уравнения второго порядка
,
удовлетворяющее начальным условиям
;
.
Решение. Заменяя в данном дифференциальном уравнении
функцию единицей, а ее производные соответствующими степенями , запишем характеристическое уравнение
,
которое имеет два
действительных и различных корня
,
,
поэтому общее решение этого уравнения
записывается в виде
,
где , произвольные постоянные.
Найдем
:
.
Основываясь на начальных условиях, получаем систему уравнений
;
.
Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид
частное решение.
6.2.
Найти частное решение линейного
однородного уравнения второго порядка
,
удовлетворяющее начальным условиям
;
.
Решение. Заменяя в данном дифференциальном уравнении
функцию единицей, а ее производные соответствующими степенями , запишем характеристическое уравнение
,
которое имеет два
действительных кратных корня
,
поэтому общее решение этого дифференциального
уравнения записывается в виде
,
где
,
произвольные постоянные.
Найдем
.
Основываясь на начальных условиях, получаем систему уравнений
;
.
Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид
частное решение.
6.3. Найти частное
решение линейного однородного уравнения
второго порядка
,
удовлетворяющее начальным условиям
;
.
Решение. Заменяя в данном дифференциальном уравнении
функцию единицей, а ее производные соответствующими степенями , запишем характеристическое уравнение
,
которое имеет два
комплексных корня
,
поэтому общее решение этого дифференциального
уравнения записывается в виде
,
где , произвольные постоянные.
Найдем
.
Основываясь на начальных условиях, получаем
;
.
Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид
частное решение.