2. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
.
Уравнение
порядка
решается последовательным интегрированием.
Умножая обе части на
и интегрируя, получим уравнение
порядка
.
Снова
умножая на
и интегрируя, получим уравнение
го
порядка
.
После
кратного
интегрирования получим общий интеграл
в виде функции от
и
произвольных постоянных интегрирования.
. (2.1)
Для
отыскания частного решения необходимо
найти постоянные интегрирования (задача
Коши). Для этого требуется
начальных условий
,
,
... ,
при
.
Иногда для нахождения частного решения
начальные условия задаются не в одной
точке
,
а на концах некоторого промежутка
.
Такие условия принято называть граничными
условиями.
.
Уравнение второго порядка вида
,
не содержащее явным образом искомую
функцию
,
преобразуется в уравнение первого
порядка посредством подстановки
.
Тогда
,
и уравнение принимает вид
.
Это
уже уравнение первого порядка. Интегрируя
его, найдем
,
откуда
. (2.2)
Общее
решение дифференциального уравнения
второго порядка содер-жит две произвольные
постоянные
и
.
Для их определения при нахождении
частного решения, используем начальные
условия
;
.
Первое условие означает, что из семейства
интегральных линий выделяется такая
линия, которая проходит через данную
точку. Второе условие определяет
направление линии заданием угла наклона
касательной в этой точке.
.
Уравнение
второго порядка вида
,
не содержащее явным образом независимую
переменную
,
решается посредством подстановки
,
но теперь будем считать
функцией
,
т.е.
.
Подставляя
в исходное уравнение, получим
.
Интегрируя его, найдем
,
откуда
,
или
.
Интегрируя еще раз, получим
общее решение
.
Решение типовых примеров
1. Проинтегрировать уравнение .
Решение.
Это уравнение вида
.
Решается последовательным интегрированием.
Умножая обе части на
и интегрируя, получим уравнение
го
порядка
.
Снова умножая на и интегрируя, получим
.
Интегрируя еще раз окончательно получаем
.
общее
решение.
2.
Найти общее решение уравнения
.
Решение. Это уравнение второго порядка, не содержащее явным образом функцию .
Подстановка
,
тогда
.
Тогда получим
.
(1)
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Замена
;
.
Подставляя в уравнение (1), получим
.
(2)
Приравнивая выражение в круглых скобках нулю и интегрируя, имеем
;
;
;
;
;
;
(3)
Подставляя (3) в (2), получим
;
;
;
;
;
.
Учитывая,
что
,
а
,
имеем
.
;
;
;
;
общее
решение.
3.
Найти общее решение уравнения
.
Решение. Это уравнение второго порядка, не содержащее явным образом аргумента .
Подстановка
,
.
Тогда
;
.
Отсюда
и
.
Решение
первого уравнения:
,
.
При отыскании решения второго уравнения разделим переменные и проинтегрируем
;
;
;
;
;
.
Так
как
,
то
;
;
;
;
.
Уравнение
не является общим решением, так как
содержится в последнем решении при
.
общее
решение.