1.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называет-ся уравнение вида

, (1.12)

где , – заданные непрерывные в рассматриваемой области функции.

Посредством замены функции произведением двух вспомогательных функций , линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой функции

(1.13)

Выберем функцию такой, чтобы , тогда

и частное решение имеет вид .

Поскольку выражение в квадратных скобках равно нулю, то получим , откуда

.

Произведение найденных решений и является общим решением

.

Решение типовых примеров по Заданию 3

3.1. Найти общее решение линейного уравнения .

Решение. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Подстановка . Тогда уравнение принимает вид

; . (1)

Выберем функцию такой, чтобы . Тогда

; ; .

Интегрируя полученное выражение, имеем

; ; ; . (2)

Подставляя выражение (2) в (1), получим

; ; ; ; ;

; .

Так как , окончательно имеем

общее решение.

1.5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям первого порядка

Рассмотрим некоторые приемы составления дифференциальных уравнений.

. Если исследуемый процесс протекает так, что его скорость относительно независимой переменной пропорциональна текущему значению самого процесса , то он может быть описан уравнением

, откуда .

Если коэффициент пропорциональности , то с возрастанием процесс нарастает, если , то с возрастанием процесс убывает.

Основным законом динамики является второй закон Ньютона, который в проекциях на неподвижные оси координат имеет вид

, , , (1.15)

или , , , (1.16)

где , , или , , проекции ускорения

на оси координат; , , проекции силы на те же оси.

Силы сопротивления среды принимают часто пропорциональными скорости. Упругие и квазиупругие силы пропорциональны положению движущейся точки, то есть ее соответствующей координате. Поскольку силы сопротивления и упругие силы направлены в сторону, противо-положную движению, в уравнение движения они входят со знаком минус.

Решение типовых примеров по Заданию 5

5.1. Цилиндрический резервуар, в дне которого есть отверстие, заполнен жидкостью.

Найти время , за которое жидкость вытечет из сосуда, если высота столба жидкости равна см, радиус цилиндра см, площадь отверстия см.

Решение. Воспользуемся законом Торричелли, согласно которого для малых отверстий скорость истечения жидкости находится по формуле

,

где высота жидкости над отверстием.

Пусть в момент времени высота жидкости равна и за время уменьшилась на . Полагая , что на протяжении времени скорость вытекания была постоянной и равнялась , найдем объем жидкости, которая вытекла за время : (рис.1.1).

С другой стороны, уровень жидкости уменьшился на , поэтому . Приравнивая элементарные объемы, получим дифференциальное уравнение

.

Разделим переменные

.

Интегрируя, получаем

; .

Из условия находим постоянную интегрирования

, поэтому .

Эта формула выражает зависимость времени от высоты столба жидкости . Полагая , найдем время, за которое вытечет вся жидкость

.

Подставляя числовые значения, получим

с мин 37 с.

5.2. Тело падает с высоты без начальной скорости.

Найти зависимость скорости тела от пройденного пути, если сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости?

Решение. На тело при падении действуют две силы: сила гравита-ционного притяжения, равная весу тела и сила сопротивления . Согласно закона Ньютона, имеем

; .

Поскольку и ,

то , или , где .

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися перемен-ными. Разделяя переменные и интегрируя, получим

; ; ;

общее решение.

Постоянную интегрирования и коэффициент найдем из началь-ных условий. В начале движения , . Подставляя в общее решение, находим

; .

частное решение.