1.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

. Дифференциальные уравнения вида

, (1.3)

в которых , функция только от , а функция только от , называ-ются дифференциальными уравнениями с разделенными перемененными.

Общий интеграл уравнения находим почленным интегрированием

. (1.4)

Пример. Найти общий интеграл уравнения: .

Решение. Интегрируя уравнение почленно, получим

общий интеграл.

. Дифференциальные уравнения вида

, (1.5)

(1.6)

называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными.

Представив в уравнении (1.5) и умножив его обе части на , или разделив обе части уравнения (1.6) на произведение членов, «мешающих» интегрированию по и по , т.е. на , получим уравнения с разделенными переменными, т.е.

, . (1.7)

. (1.8)

Интегрируя почленно эти уравнения, получаем общий интеграл уравнений (1.5), (1.6)

; . (1.9)

Решение типовых примеров по Заданию 1

1.1. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Представив , получим .

Умножим обе части уравнения на : .

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем его

; ; общее решение.

1.2. Решить задачу Коши или найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию

; .

Решение. Разделим уравнение на причем ,

или .

Переменные разделены. Теперь интегрируем

.

Получаем общий интеграл

; .

Постоянную интегрирования найдем из начального условия

; ; .

частный интеграл.

1.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

, (1.10)

в котором функция однородная функция своих аргументов одинакового измерения, называется однородным дифференциальным уравнением.

Однородное уравнение можно представить в виде

, (1.11)

поэтому оно не изменяется при замене на и на .

Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка сводится к решению уравнений с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где некоторая функция от .

Поэтому справедливо

; .

После решения уравнения с функцией , сделав обратную замену получим общий интеграл (1.10).

Решение типовых примеров по Заданию 2

2.1. Найти общее решение (общий интеграл) однородного уравнения

.

Решение. Разделим обе части уравнения на .

.

Заменим на и на .

.

Это однородное дифференциальное уравнение, так как не изменяется при замене на и на .

Разделим числитель и знаменатель правой части уравнения на .

.

Применяем подстановку .

Тогда получим ; ;

; .

Разделим переменные

; ; .

Проинтегрируем полученное уравнение

; ; .

Возвращаемся к функции , учитывая, что , получим

, или – общий интеграл.