- •Высшая математика дифференциальные уравнения методические указания
- •Содержание
- •Рекомендации по выполнению расчетно-графической работы
- •1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •1.1. Общие понятия о дифференциальном уравнении первого порядка
- •1.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •Решение типовых примеров по Заданию 1
- •1.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Решение типовых примеров по Заданию 2
- •1.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Решение типовых примеров по Заданию 3
- •1.5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям первого порядка
- •Решение типовых примеров по Заданию 5
- •2. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •Решение типовых примеров
- •1. Проинтегрировать уравнение .
- •3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Решение типовых примеров по Заданию 6
- •4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Решение типовых примеров по Заданию 7
- •5. Применение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению колебательных процессов
- •Решение типовых примеров
- •Индивидуальные задания ргр Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Приложение 1
- •Д ве последние цифры номера зачетной книжки
- •Д ве последние цифры номера зачетной книжки
- •Приложение 4 Образец титульного листа
- •Литература
Рекомендации по выполнению расчетно-графической работы
Расчетно-графическую работу (РГР) выполняют студенты инженерных специальностей при изучении темы «Дифференциальные уравнения».
Методические указания к РГР содержат краткие теоретические сведения по разделам: дифференциальные уравнения 1-го порядка, уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка, линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, примеры решения типовых примеров и индивидуальные задания для каждого студента.
Рекомендуется
следующий порядок выполнения РГР:
последовательно изучить теорию,
необходимую для выполнения каждого
задания по учебникам
,
или
и конспекту лекций. При изучении
теоретического материала нужно, прежде
всего, уяснить суть каждого излагаемого
вопроса. Главное – понять изложенное
в учебнике, а не «заучить».
При изучении курса особое внимание следует уделить приобретению навыков решения примеров. Для этого, изучив материал данной темы, надо сначала обязательно разобраться в решениях соответствующих примеров, которые приводятся в учебнике и данных методических указаниях. Затем постарайтесь решить самостоятельно несколько аналогичных примеров из рекомендованных сборников. Только после этого приступайте к выполнению заданий своего варианта.
В случае необходимости можно обратиться за консультацией к преподавателю.
Расчетно-графическая работа каждого студента содержит 7 заданий, номера которых выбираются по двум последним цифрам номера зачетной книжки из Приложения 3. Так, например, если номер зачетной книжки 2210768 студент, должен выполнить задание 68, т.е. решить примеры 1.8, 2.17, 3.19, 4.21, 5.23, 6.25, 7.27.
Решения всех примеров и пояснения к ним должны быть исчерпывающими.
РГР выполняется на листах формата А-4, титульный лист которой оформляется по образцу, приведенному в Приложении 4, вкладывается в файл и сдается преподавателю на проверку.
Считается, что студент справился с работой, если он выполнил все задания своего варианта с учетом вышеизложенных требований, в установленный срок, правильно и самостоятельно. Самостоятельность выполнения работы студент доказывает при защите РГР умением решать задачи своего варианта и знанием теории по всей теме.
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
1.1. Общие понятия о дифференциальном уравнении первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
или
,
(1.1)
где
независимая переменная,
искомая функция;
ее производная.
Если
это уравнение можно разрешить относительно
,
то оно запишется в виде
или
. (1.2)
Общее
решение уравнения (1.1) имеет вид
,
где
произ-вольная
постоянная.
Если
решение уравнения найдено в виде
,
то оно называется общим интегралом.
Геометрически или представляют множество интегральных кривых.
Условие
вида
называется начальным.
Решение
,
выделенное из общего
и удов-летворяющее начальному условию,
называется частным решением, а решение
частным
интегралом.
Решить
задачу Коши, значит найти частное решение
(частный интеграл), удовлетворяющее
заданным начальным условиям:
при
,
или
.
