8.2. Типовые задания по теме
1. Даны три последовательные вершины параллелограмма A(2; 3), B(-1; 1), C(4; -2). Написать уравнения прямых, содержащих стороны и диагонали параллелограмма.
2. Дано общее
уравнение прямой
.
Написать для этой прямой: а) уравнение
с угловым коэффициентом; б) уравнение
«в отрезках».
3. Издержки производства 100 штук некоторого товара составляют 300 руб, а 500 штук – 600 руб. Определить издержки производства 400 штук товара при условии, что функция издержек линейна.
4. Напишите уравнение
прямой, проходящей через точку А
пересечения прямых
и
и точку В пересечения прямых
и
.
5. Через точку
пересечения прямых
и
проведена прямая, перпендикулярная
прямой
.
Напишите ее уравнение.
6. Прямая L
задана уравнением:
.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку М(4; -5) так, чтобы она была:
1) параллельна прямой L; 2) перпендикулярна прямой L.
7. Середины сторон треугольника ABC находятся в точках P(5, 3), Q(-1, 5) и S(1, 6). Найдите координаты его вершин.
8. Дан треугольник с вершинами в точках A(3; 6), B(-1; 3), C(2; -1). Вычислить длину его высоты, проведенной из вершины С.
9. Найти расстояние
от прямой
до начала координат.
10. Вычислить площадь
треугольника, отсекаемого прямой
от координатного угла.
11. Вычислите
величины углов треугольника, стороны
которого в прямоугольной системе
координат заданы уравнениями:
;
;
.
12. Изобразить в прямоугольной системе координат область, определяемую системой:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
13.
Найти координаты центра и радиус
окружности:
.
14. Даны вершины треугольника A (5, 6), В (3, 4) и С (9, 1). Найдите центр описанной около него окружности.
15. Составить
уравнение окружности:1) проходящей через
точки А(3; 1) и В(-1; 3), если ее центр лежит
на прямой
;
2) проходящей через точки А(5; 0) и В(1; 4),
если ее центр лежит на прямой
.
16. Составить
каноническое уравнение эллипса и
построить его в системе координат, если:
1) заданы полуоси эллипса
;
2)
.
17. Доказать, что
уравнение
задает
эллипс. Найти координаты его фокусов,
полуоси, эксцентриситет.
18. Ординаты всех
точек окружности
сокращены втрое. Составить уравнение
полученной новой кривой.
19. Доказать, что
уравнение
задает
гиперболу. Найти координаты её фокусов,
эксцентриситет. Построить данную кривую.
19. Написать
каноническое уравнение гиперболы,
проходящей через точку
,
если
.
20. Составить
уравнение гиперболы, центр которой
совпадает с началом координат, а
действительная ось – с осью OX,
если угол между асимптотами равен 90
и гипербола проходит через точку
.
21. Составить каноническое уравнение параболы, если:
1) парабола симметрична относительно оси ОХ, расположена в левой полуплоскости и р = 2;
2) парабола симметрична относительно оси ОУ и проходит через точку С(1; 1).
22. Найти точки
пересечения параболы
и прямых
,
.
23. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси OX, если она проходит через точку М(-2; -3) и имеет вершину в начале координат. Найти её фокус и директрису.
24. Дана парабола
.
Найти точки параболы, расстояния от
которых до её фокуса равно 1.