2. Решение систем линейных уравнений
2.1.Основные термины, формулы, положения
Линейное уравнение с n переменными. Система m линейных уравнений с n переменными (СЛУ). Вектор-решение СЛУ. Совместные СЛУ.
Основная и расширенная матрица СЛУ. Решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме.
Теорема Крамера. Решение СЛУ по формулам Крамера.
Равносильные СЛУ. Преобразования, приводящие к равносильной СЛУ. Метод Гаусса.
Однородные СЛУ. Свойства множества решений однородной СЛУ.
2.2. Типовые задания по теме
1. Решить СЛУ, если это возможно, в матричной форме и по формулам Крамера:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
3. Решить систему
линейных уравнений, заданную в матричной
форме
,
если
и
.
4. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
5. Швейная фабрика в течение трех дней производила костюмы, плащи и куртки. Известны объемы выпуска продукции за три дня и денежные затраты на производство за эти три дня:
-
День
объем выпуска продукции (ед)
затраты (тыс.усл.ед)
Костюмы
Плащи
Куртки
1
50
10
30
176
2
30
25
20
168
3
40
20
30
184
Найти себестоимость единицы продукции каждого вида.
2.3.Дополнительные задания по теме
1. Дана система
,
причем хотя бы один из определителей
,
,
отличен от 0. Доказать, что одно из решений
системы будет:
.
2. При каких значениях
a
система однородных уравнений
имеет ненулевое решение ?
3. Найти квадратный
многочлен
зная, что
3. Арифметическое n-мерное пространство
3.1.Основные термины, формулы, положения
Арифметический n-мерный вектор. Линейные операции над арифметическими векторами, их свойства.
Линейная комбинация. Линейная зависимость системы векторов. Линейная независимость системы векторов. Базис системы векторов. Ранг системы векторов. Ранг матрицы.
Арифметическое n-мерное пространство: определение, базис, свойства. Разложение вектора по базису, Координаты вектора.
Приложения теории арифметического векторного пространства: критерий совместности системы линейных уравнений; пространство решений однородной системы линейных уравнений; фундаментальный набор решений.
3.2. Типовые задания по теме
1. Найти линейную комбинацию арифметических векторов:
а)
,
если
,
,
;
б)
,
если
,
,
.
2. Найти вектор x
из уравнения
,
если
,
,
.
3. Будет ли данная система векторов линейно зависимой:
а)
,
,
;
б)
,
,
;
в)
,
,
,
?
4. Доказать: а) система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима; б) система векторов, два вектора которой различаются скалярным множителем, линейно зависима.
5. Образуют ли
векторы
,
,
,
базис пространства R4?
6. При помощи элементарных преобразований найти ранги матриц:
а)
;
б)
;
в)
(в зависимости от а).
7. Как может измениться ранг матрицы, если приписать к ней: а) одну строку, б) две строки?
8. Исследовать на совместность системы линейных уравнений:
а)
;
б)
9. Описать множество решений однородной СЛУ, используя фундаментальный набор решений:
а)
;
б)
;
в)
;
г).
.
10. Найти базис и
размерность векторного пространства
решений однородной СЛУ:
.
11. Является ли
фундаментальным набором решений системы
набор векторов:
а)
,
,
,
;
б)
,
,
?
12. Является ли
вектор
решением системы
?
Используя предыдущее задание №11, записать вектор общего решения для данной системы.