1. Материалы к практическим занятиям

1.Матрицы и определители

1.1.Основные термины, формулы, положения

Матрицы. Виды матриц. Элемент главной диагонали.

Линейные операции над матрицами: сложение и умножение на число. Свойства линейных операций. Транспонирование матриц.

Умножение матриц. Единичная матрица. Свойства умножения матриц.

Определитель 2-го, 3-го порядка, n-го порядка. Свойства определителей. Минор, алгебраическое дополнение элемента матрицы. Теорема Лапласа.

Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Формула обратной матрицы.

1.2. Типовые задания по теме

1. Выполнить операции над матрицами:

а) , если , ;

б) , если ,

в) и , если и ; и ; и ;

г) , если ; ;

д) , если ; .

е) , если ; .

2. Существуют ли произведения , для матриц: а) , ; б) , ; в) , . Найти существующие произведения.

3. Найти все матрицы, перестановочные (коммутирующие) с матрицей . Укажите матрицу второго порядка, которая будет перестановочна с произвольной матрицей этого же порядка?

4. Найти определители матриц, используя определение:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

5. Найти определитель произведения матрицы на транспонированную к ней матрицу.

6. Доказать, что определитель 2-го порядка равен 0 тогда и только тогда, когда его строки пропорциональны.

7. Вычислить миноры и алгебраические дополнения для элементов a_{11 ,} a₃₂ , a₂₃ в определителе . Разложить определитель по элементам третьей строки.

8. Вычислить определители удобным способом:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) .

9. Найти матрицы, обратные данным: , , , , .

10. Вычислить определитель произвольного порядка n, приведя его к треугольному виду: а) ; б) ; в) .

11.Сколько определителей k–го порядка можно составить из матрицы, имеющей m строк и n столбцов?

12. По результатам № 9, сравните значения определителей данных матриц с определителями матриц, обратных к ним. Какой вывод можно сделать?

13. Найти С - матрицу выручки по регионам, если объемы продукции заданы матрицей , матрица цен . Определить, какой из трех регионов наиболее выгоден для реализации товара.

14. 1) Определить полные затраты ресурсов 3-х видов на производство месячной продукции, если нормы затрат заданы матрицей и объемы выпуска каждого из двух типов продукции заданы матрицей . 2) Определить стоимость всех затраченных ресурсов, если задана стоимость единиц каждого ресурса .

1.3. Дополнительные задания по теме

1.Пусть для квадратной матрицы произвольной размерности имеет место равенство: , где - нулевая матрица. Доказать: .

2. Доказать, что равенство невозможно.

3. Найти условие, которому должна удовлетворять матрица с целыми элементами для того, чтобы все элементы обратной матрицы были бы целыми.

4. Доказать, что если матрица имеет обратную, то .

5. Как изменится матрица , если ее умножить слева на матрицу: а) ; б) ; в) ; г) , где - произвольное число?

6. Найти все матрицы Х, удовлетворяющие уравнению .

7. Найти все матрицы 2-го порядка, квадрат которых равен нулевой матрице.

8. Пусть А – произвольная матрица размерности . На какую матрицу нужно домножить слева матрицу А, чтобы это соответствовало действию: а) вычеркивания i-й строки матрицы А; б) приписыванию нулевой строки снизу; в) перемены местами i-й и j-й строк?

9. Найти , если : а) ; б) .

10. Пользуясь правилом умножения матриц, представить произведение определителей в виде определителя:

а) ; б) .

11. 1. Входят ли в определитель 5-го порядка произведения: a₁₃a₂₄a₂₃a₄₁a₅₅ ; a₃₄a₂₁a₁₃a₅₅a₄₂? 2. С каким знаком в определитель 6-го порядка входит произведение: a₂₃a₃₁a₄₂a₅₆a₁₄a₆₅? 3. Выписать все слагаемые, входящие в состав определителя 4-го порядка со знаком «+» и содержащие а_14. 4. При каких значениях k и i произведение a_1i a₃₂a_4ka₂₅a₅₃ входит в определитель 5-го порядка со знаком «+»?

12. Используя только определение, вычислить коэффициенты при x⁴ и x³ в определителе .

13. Решить матричное уравнение .