§ 7 Физический смысл производной

Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, то есть:

.

Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-либо определенный момент времени нужно найти производную и подставить в нее соответствующее значение .

Примеры

1) Путь, пройденный материальной точкой, задается уравнением . Найти скорость движения в конце 5-й секунды.

Решение: Находим производную:

. По условию =5с. Получим .

2) Точка движется прямолинейно по закону . В какой момент времени ее скорость окажется равной нулю.

Решение: Найдем скорость данной точки. Для этого найдем производную:

Нам нужно найти момент времени в который , получим , откуда .

§ 8 Вторая производная и ее физический смысл

Производную от данной функции принято еще называть первой производной или производной первого порядка. Очевидно, что производная также является функцией, и если она дифференцируема, то от нее также можно взять производную.

Производную от производной первого порядка называют второй производной или производной второго порядка и обозначают , .

Пример: Найти вторую производную следующих функций:

Решение:

1) Найдем первую производную:

. Теперь найдем вторую производную

2) ;

3)

.

Далее рассмотрим механический (физический) смысл второй производной:

Пусть тело движется по закону и его скорость в данный момент времени равна производной пути по времени, то есть , тогда ускорение прямолинейного движения тела в данный момент времени равно второй производной пути по времени или первой производной скорости по времени, то есть .

Примеры

1) Точка движется прямолинейно по закону . Найти ускорение точки в момент .

Решение: Найдем скорость данной точки. Для этого найдем производную от пути: . Теперь найдем ускорение, для этого найдем вторую производную от пути:

.

Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения , значит движение точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением, то есть .

2) Закон движения тела определяется уравнением . Каково ускорение тела в момент, когда его скорость равна 11 м/с?

Решение: Найдем ускорение тела в любой момент времени, для этого найдем вторую производную от пути:

Далее решим уравнение и найдем нужный нам момент времени: . Теперь найдем ускорение тела в момент : .

Упражнения

I Найти ускорение точки в указанные моменты времени , если скорость точки, движущейся прямолинейно, определяется законом:

1)

2)

3)

II Найти скорость и ускорение точки в указанные моменты времени , движущейся прямолинейно по закону:

1)

2)

3)

III Найти момент времени , в который ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону , равно нулю. Какова при этом скорость точки?

IV Тело массы m движется по закону . Доказать, что сила, действующая на точку, постоянна.

V Найти интервалы монотонности функций:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;