§ 6 Геометрический смысл производной

I Определение касательной и нормали к кривой

В курсе геометрии вы уже встречались с понятием касательной, а именно, касательная к окружности определялась как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку. Однако такое определение неприменимо для случая произвольной кривой.

Так, например, оси и имеют по одной общей точке с параболой (рис. 4)

Рис. 4

Однако ось – касательная к параболе, а ось не является касательной к ней. Определим касательную к кривой точке в общем случае.

Пусть – некоторая точка кривой , отличная от (рис 5).

Рис. 5

Прямая , проходящая через точки и , называется секущей кривой .

Если точку перемещать по кривой , приближая к точке , то секущая будет поворачиваться вокруг точки , занимая соответственно положения , , и т.д.

Если секущая будет стремиться занять некоторое предельное положение при стремлении точки вдоль кривой к точке , то прямая называется касательной к кривой .

Заметим, что не всякая кривая в любой точке имеет касательную. Простейшим примером такой кривой может служить график функции (рис. 6)

Рис. 6

Эта кривая в точке не имеет касательной.

Прямая, проходящая через точку , перпендикулярно касательной к кривой в точке , называется нормалью к кривой в точке .

Например, если прямая – касательная к кривой в точке , то прямая , , является нормалью к данной кривой (рис 7).

Рис. 7

II Геометрический смысл производной

Пусть кривая является графиком непрерывной функции (рис. 8)

Рис. 8

На кривой рассмотрим точки и и проведем секущую . Очевидно, если – это ее угловой коэффициент, то из мы видим, что он равен: .

Пусть теперь , то есть абсцисса точки приближается к абсциссе точки и, следовательно, точка стремится к точке , оставаясь на кривой . При этих условиях секущая меняет свое положение, вращаясь вокруг точки , то есть изменяется угол .

Если функция дифференцируема в точке , то , и следовательно, существует прямая , являющаяся предельным положением секущей , при приближении точки по кривой к точки . Эта прямая, как известно, будет касательной к кривой в точке . Таким образом, если функция дифференцируема в точке , то ее график имеет касательную в точке , угловой коэффициент которой равен , (так как , то ).

Сказанное позволяет дать следующее геометрическое истолкование производной:

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке , то есть .

Примеры: 1. В какой точке касательная к кривой

1. параллельна оси ;

2. образует с осью угол в 45^o?

Решение:

1. Так как касательная параллельна оси , то она образует с ней угол и ее угловой коэффициент в точке касания равен нулю, так как . Воспользуемся геометрическим смыслом производной и составим уравнение: .

Найдем производную функции : .

Тогда , откуда .

Итак, касательная к данной кривой параллельна оси в точке (0;-1)

2. Так как касательная образует с осью угол в 45^о, то ее угловой коэффициент равен 1, так как . Ранее мы нашли производную функции в любой ее точке: . Найдем значение аргумента, при котором эта производная равна 1, то есть решим уравнение :

, откуда . Итак, касательная к данной кривой составляет с осью в точке .

2. Найти угловой коэффициент касательной, приведенной к кривой в точке .

Решение:

Найдем производную функции , получим . По условию

Итак, угловой коэффициент касательной кривой в точке равен -4;