IV Производные тригонометрических функций

1 Вначале найдем производную функции . Для этого воспользуемся определением производной:

то есть

. (6)

С помощью правила дифференцирования сложной функции получим формулу для нахождения производной сложной функции , где :

. (6’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

2 Теперь найдем производную функции . Для этого представим функцию через функцию , с помощью формул приведения получим:

. Следовательно,

. (7)

Для вывода формулы (7) можно также использовать определение производной. Чтобы найти производную сложной функции применим правило дифференцирования сложной функции и получим:

. (7’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

3 Далее найдем производную функции . Для этого воспользуемся определением тангенса и правилом дифференцирования дроби:

. (8)

Для нахождения производной сложной функции , применим правило дифференцирования сложной функции и получим, что:

. (8’)

4 Аналогичным образом найдем производную функций и :

. (9)

Для функции имеем:

. (9’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

V Производные обратных тригонометрических функций

1 Найдем производную функции , согласно определению арксинуса имеем . Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу x, учитывая, что – сложная функция, так как y зависит от x. Получим:

так как , а по условию , поэтому выбираем положительное значение, то (так как , по условию) , то есть

. (10)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции и получим, что:

. (10’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

2 Найдем производную функции . Из определения арккосинуса имеем . Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу , учитывая, что – сложная функция, так как y зависит от .

так как , и по условию , поэтому выбираем положительное значение ,и подставляя вместо получим: , то есть

. (11)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции и получим, что

. (11’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

3 Далее найдем производную функции . Из определения арктангенса имеем . Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу x, учитывая, что – сложная функция, так как зависит от .

Далее выразив из соотношения , получим , а так как , а , то

. (12)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции имеем:

. (12’)

4 Теперь найдем производную функции . Из определения арккотангенса имеем . Продифференцируем данное равенство по аргументу , учитывая, что – сложная функция, так как зависит от

Далее выразив из соотношения , получим , а так как , а , то

. (13)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции имеем:

. (13’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

Упражнения: Найти производные следующих функций:

Теперь все доказанные нами формулы занесем в таблицу.

Таблица производных

;
;
; Для простых функций	Для сложных функций
;