§ 5 Производные элементарных функций

I Производная логарифмической функции

Вначале выведем формулу дифференцирования функции , где .

Найдем производную с помощью определения:

Теперь функцию, содержащуюся под знаком предела, умножим и разделим на (это можно сделать, так как ), а затем воспользуемся свойством логарифмов: , получим

так как

Итак получили, что

. (1)

Выведем теперь формулу дифференцирования сложной функции, то есть функции , где . Для этого используем формулу дифференцирования сложной функции , получим:

то есть

. (1’)

Пример: Найти производные следующих функций:

Решение:

Первый способ:

;

Второй способ:

Вначале преобразуем функцию с помощью свойств логарифмов:

.

А теперь найдем производную:

;

Найдем теперь производную функции , где

Для того, чтобы найти производную функции , воспользуемся формулой перехода от логарифма с одним основанием, к логарифму с другим основанием: , где и перейдем от логарифма с основанием a к логарифму с основанием e, получим:

А теперь найдем производную функции :

Получим, что

. (2)

Теперь найдем производную сложной функции . Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, получим:

, то есть

. (2’)

Пример: Найти производные следующих функций:

Решение:

Замечание: При нахождении производной логарифмической функции иногда проще вначале преобразовать функцию, пользуясь свойствами логарифма, а только затем находить производную. Поэтому напоминаем основные свойства логарифмической функции:

1)

2)

3)

4)

Пример: Найти производную функции: .

Решение: Вначале преобразуем функцию:

А теперь найдем производную:

II Производная степенной функции

Найдем производную функции

Для этого применим способ, который называется логарифмическим дифференцированием. Он заключается в том, что функцию вначале логарифмируют, а затем находят производную.

Итак, прологарифмируем функцию по основанию e: . Теперь продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу , учитывая, что это сложная функция, так как зависит от

.

А теперь из этого равенства выразим искомую величину , учитывая, что , получим

,

то есть

, где . (3)

Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, найдем производную сложной функции

, где , получим , то есть

. (3’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

Замечание: Здесь можно выделить функцию . Найдем ее производную с помощью формулы (2):

то есть

.

Для сложной функции получим формулу при помощи правила

.

III Производная показательной функции

Производную показательной функции также можно найти с помощью метода логарифмического дифференцирования.

Для этого, прологарифмируем функцию по основанию , получим:

.

Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу , учитывая, что – сложная функция, так как y зависит от

.

Откуда выразим , учитывая, что ; , то есть

. (4)

Теперь найдем производную функции с помощью формулы (4)

,

то есть

. (5)

В результате применения правила дифференцирования сложной функции получим формулы для нахождения производных сложных функций и , где

, (4’)

. (5’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение: