III Непрерывность дифференцируемой функции

Установим необходимое условие существования производной.

Теорема:

Если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство: Любому значению , взятому из области определения функции , соответствует приращение аргумента и некоторое приращение функции . Рассмотрим тождество:

.

Переходя к пределу при в этом тождестве, получаем:

Следовательно, , что и означает непрерывность функции в .

Замечание: Из доказанной теоремы следует, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она в этой точке не имеет производной, то есть непрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Однако, следует заметить, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, то есть из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.

Пример: Функция непрерывна в любой точке числовой оси, в том числе и в точке (рис. 3)

Рис. 3

Однако в точке данная функция не имеет производной. В самом деле: Отсюда следует, что предел не существует (так как, если предел существует, то только один) и, следовательно, не существует производной функции в точке .

Таким образом, существует функции, всюду непрерывные, но не имеющие производных в некоторых точках.

§ 3 Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Теорема 1

Если функции и имеют производные во всех точках интервала , то производная их алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных, то есть для любого .

Доказательство: рассмотрим функцию , где и найдем производную этой функции, исходя из определения. Пусть – некоторая точка интервала . Тогда

Итак, .

Так как  – произвольная точка интервала , то имеем

.

Случай разности рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Примеры: Найти производную:

1) ;

2) ;

Замечание: Данная теорема справедлива для любого числа слагаемых.

Теорема 2

Если функции и имеют производные во всех точках интервала , то для любого .

Доказательство: рассмотрим функцию , где и найдем производную этой функции, с помощью определения. Пусть – произвольная точка интервала . Тогда

Итак, .

Так как  – произвольная точка интервала , то имеем

.

Примеры:

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Доказательство: Применим теорему о производной произведения:

.

Примеры:

;

Теорема 3:

Если функции и имеют производные во всех точках интервала , причем для любого , то для любого .

Доказательство: Рассмотрим функцию , где и найдем ее производную, пользуясь определением. Пусть – произвольная точка интервала . Тогда

.

Следовательно,

.

А так как  – произвольная точка интервала , то имеем .

Примеры:

§ 4 Сложная функция и ее производная

Сложной функцией называется функция, составленная из нескольких функций.

Обозначается сложная функция или , где .

– называется внутренней (или промежуточной) функцией. Например, функция является сложной, так как она составлена из двух функций: где . Функция также является сложной, так как составлена из трех функций: .

Докажем теперь теорему о производной сложной функции:

Теорема

Если функция дифференцируема по , а функция дифференцируема по , то производная сложной функции по независимой переменной определяется равенством: .

Доказательство: Пусть дана дифференцируемая функция , которая является сложной и имеет промежуточный аргумент зависящий от .

По определению производной можем записать . Умножив числитель и знаменатель функции, содержащейся под знаком предела, на приращения промежуточного аргумента , получим:

то есть

производная сложной функции по аргументу равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную внутренней функции по основному аргументу .

Это правило иногда называют правилом цепочки: то есть производная сложной функции равна произведению производных от всех составляющих ее функций. При этом следует помнить, что каждую функцию нужно дифференцировать по ее собственному аргументу.

Пример: Найти производную функции: .

Решение: Эта функция сложная, то есть .

Согласно правилу дифференцирования сложной функции получим: .