Тема V. Определенный интеграл
Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, если можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона-Лейбница:
.
Вычислить определенные интегралы:
.
.
Положим
,
тогда
и
.
Вычислим новые пределы интегрирования
,
.
Следовательно,
.
.
П
рименим
формулу
.
Положим
,
,
тогда
,
.
.
При вычислении определенного интеграла можно использовать свойства четных и нечетных функций.
Если
- нечетная функция, то
.
Если
- четная функция, то
.
Исключение
для четных функций составит функция
на интервале
.
,
,
.
.
Подынтегральная
функция
- нечетная (
,
).
Следовательно,
.
Задание 5.
5.1 Вычислить определенный интеграл:
1.
;
Ответ:
.
2.
; Ответ:
.
3.
; Ответ:
0.
4.
; Ответ:
.
5.
; Ответ:
.
6.
; Ответ:
1.
7.
; Ответ:
.
8.
; Ответ:
.
9.
; Ответ:
.
10.
; Ответ:
.
11.
; Ответ:
.
12.
; Ответ:
.
13.
; Ответ:
.
14.
; Ответ:
.
15.
;
Ответ: 1.
16.
; Ответ:
.
17.
; Ответ:
.
18.
; Ответ:
0.
19.
; Ответ:
.
20.
; Ответ:
.
21.
; Ответ:
.
22.
; Ответ:
.
23.
; Ответ:
.
24.
; Ответ:
.
25.
; Ответ:
1.
26.
; Ответ:
.
27.
; Ответ:
.
28.
; Ответ:
.
29.
; Ответ:
.
30.
; Ответ:
.
31.
; Ответ:
.
32.
; Ответ:
.
33.
; Ответ:
.
34.
; Ответ:
.
35.
; Ответ:
.
36.
; Ответ:
.
37.
; Ответ:
.
38.
; Ответ:
.
39.
; Ответ:
.
40.
; Ответ:
.
41.
; Ответ:
.
42.
; Ответ:
.
43.
; Ответ:
.
44.
; Ответ:
.
45.
; Ответ:
0.
46.
; Ответ:
0.
47.
; Ответ:
0.
48.
; Ответ:
0.
49.
;
Ответ: 0.
Применение определенного интеграла
к вычислению различных величин.
Площадь плоской фигуры.
Определенный интеграл широко применяется при вычислении различных геометрических и физических величин.
Найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а
)
,
,
,
,
.
b
)
,
,
,
,
.
c) , , , .
,
,
d
)
,
,
,
,
.
0
е
)
,
.
Рассмотрим на примерах.
Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями:
,
,
.
Найдем точку пересечения прямых:
,
,
.
Δ АМС разделим на два треугольника АМN и NМС.
,
,
,
.
(ед.
кв.)
и
.
П
остроим
графики функций.
Найдем точки пересечения графиков функций.
,
,
,
.
5.2 Найти площадь фигур, ограниченных линиями.
1.
,
,
,
. Ответ:
1 кв. ед.
2.
,
,
,
. Ответ:
6 кв. ед.
3.
,
,
,
,
.
Ответ: 14,75 кв. ед.
4.
,
.
Ответ: 18 кв. ед.
5.
,
.
Ответ:
кв. ед.
6.
,
.
Ответ: 36 кв. ед.
7.
,
. Ответ:
кв. ед.
8.
,
. Ответ:
4,5 кв. ед.
9.
,
.
Ответ:
кв. ед.
10.
,
,
.
Ответ: 3 кв.ед.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гусак, А. А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / А. А. Гусак. – Мн. : Высшая школа, 1998. – 167 с.
2. Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике / Н. В. Богомолов. – М. : Высшая школа, 1980. – 267 с.
3. Подольский, В. А. Сборник задач по математике для техников – программистов : учеб. пособие / В. А. Подольский. – М. : Высшая школа, 1978. – 240 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………… |
3 |
Тема I. Комплексные числа………………………………………. |
4 |
Тема II. Предел функции………………………………………..... |
10 |
Тема III. Производная функции и ее приложения……………..... |
21 |
Тема IV. Неопределенный интеграл……………………………... |
47 |
Тема V. Определенный интеграл………………………………… |
62 |
Литература…………………………………………………………. |
73 |