Тема IV. Неопределенный интеграл
Функция
называется первообразной для функции
в промежутке
,
если в любой точке этого промежутка ее
производная равна
:
,
.
Отыскание
первообразной функции по заданному
дифференциалу
есть действие, обратное дифференцированию,
- интегрирование.
Совокупность
первообразных для дифференциала
называется неопределенным интегралом
и обозначается символом
.
,
если
.
Основные свойства неопределенного интеграла:
;
;
;
;Если
и
-
любая известная функция, имеющая
непрерывную производную, то
.
Основные формулы интегрирования
;
,
,
,
;
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
,
;
,
,
;
;
.
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании табличных интегралов, свойств интегралов и применении элементарных тождественных преобразований.
Найти интегралы:
.
Решение:
Используя свойства 3 и 4 и формулы 2 и 1 получаем:
.
Ответ:
.
.
Решение:
Так
как
,
и
,
то
.
Ответ: .
.
Решение:
Так
как
,
и
,
то
.
Ответ:
.
.
Решение:
Так
как
и
,
то
.
Ответ:
.
.
Решение:
Выполним тождественные преобразования:
.
Ответ:
.
.
Решение:
Ответ:
.
Интегрирование методом замены переменной
Сущность
этого метода заключается в преобразовании
интеграла
в интеграл
.
Для
нахождения интеграла
заменяем переменную х
новой переменной t
с помощью подстановки
.
Дифференцируя это равенство, получим
.
Подставляя в подынтегральное выражение
вместо х
и
dx
их значения, выраженные через t
и dt,
имеем:
.
После нахождения интеграла возвращаемся к переменной х.
Найти интегралы:
.
Решение:
Данный
интеграл окажется табличным, если под
знаком дифференциала будет стоять
аргумент
.
Т.к.
,
то
.
Ответ:
.
.
Решение:
Поскольку
,
используем подстановку
и
,
приводим выражение к табличному
интегралу:
.
Ответ:
.
В
простейших случаях (подобных рассмотренным
выше) введение новой переменной следует
выполнить в уме, применяя следующие
преобразования дифференциала
:
,
,
,
,
и
другие.
.
Решение:
Так
как
,
то
.
Разделив
и умножив подынтегральное выражение
на
получим
.
Так как
,
получим
.
Ответ:
.
Интегрирование по частям
.
Вычисление
сводится к вычислению
,
если последний окажется проще исходного.
За функцию u принимаются степенные, логарифмические, обратные тригонометрические функции, которые при дифференцировании упрощаются.
За
принимаются
,
,
,
,
,
и другие, интегрируя которые можно найти
функцию
.
Найти интегралы:
Ответ:
.
Ответ:
Ответ:
Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим следующие случаи:
1.
При вычислении интегралов вида
или
используются формулы понижения степени:
,
.
2.
При вычислении интегралов вида
или
от
нечетной степени синуса или косинуса
нужно отделить один множитель и ввести
новую переменную, полагая
в первом интеграле и
во втором.
3.
При вычислении интегралов вида
,
,
применяются формулы:
;
;
.
Найти интегралы:
Ответ:
.
Ответ:
.
Ответ:
.
Задание 4.
4.1 Найти интеграл:
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
;
Ответ:
.
;
Ответ:
.
;
Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
;
Ответ:
.
; Ответ:
.
;
Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
; Ответ:
.
89.
.
Ответ:
.