Тема III. Производная функции и ее приложения

Производная, ее геометрический и физический смысл.

Правила и формулы дифференцирования

Напомним, что приращением функции называется разность

,

где - приращение аргумента x.

Из рисунка видно, что . (1)

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю называется производной функции в точке х и обозначается одним из следующих символов: , , .

Таким образом, по определению

. (2)

Если указанный в формуле предел существует, то функцию называют дифференцируемой в точке х, а операцию нахождения производной - дифференцированием.

Из равенств (1) и (2) следует, что производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке , к графику функции .

С физической точки зрения производная определяет скорость изменения функции в точке х относительно аргумента х ( - мгновенная скорость, - средняя скорость изменения функции).

Если с – постоянное число и , - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. , ;

7. ; ; ;

8. Если , , т.е. - сложная функция, то

или .

На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных функций:

1. ,

2. , , где

3. , ,

4. , ,

5. ,

6. ,

7. , ,

8. , ,

9. , ,

10. , ,

11.

12.

13. , ,

14. , ,

15. , ,

16. , ,

17. , ,

18. , ,

Уравнение касательной к кривой в точке :

.

Уравнение нормали к кривой в точке :

, .

При уравнение нормали имеет вид:

.

Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым в этой точке, который вычисляется по формуле

.

Примеры

1. Найти производную функции .

Решение:

Ответ:

2. Найти производную функции .

Решение:

Упростим выражение:

Найдем производную функции:

Ответ:

3. Найти производную функции .

Решение:

Упростим выражение:

Найдем производную функции:

Ответ:

4. Записать уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение:

Для составления уравнений касательной и нормали найдем ординату точки М, через которую проходит касательная, и ее угловой коэффициент.

Найдем ординату точки касания, подставив в уравнение кривой значение :

; .

Вычислим угловые коэффициенты касательной и нормали:

;

.

.

Найдем уравнение касательной:

, , .

Найдем уравнение нормали:

, , .

Ответ: , .

5. Составить уравнение касательной и нормали к эллипсу в точке .

Решение:

Дифференцируем уравнение эллипса по х, рассматривая у как функцию от х:

, , откуда .

Найдем угловые коэффициенты касательной и нормали в точке :

.

.

Уравнение касательной имеет вид:

, , .

Уравнение нормали:

, , .

Ответ: , .

6. Вычислить острые углы, образуемые при пересечении парабол и .

Решение:

Найдем точки пересечения парабол. Для этого решим систему уравнений:

Параболы пересекаются в точках О (0;0) и А (1;2).

Угол между двумя пересекающимися параболами найдем как угол между касательными к ним, проведенным в точке пересечения. Вычислим угловые коэффициенты касательных к параболам в точках их пересечения. В точке (0;0) касательными к параболам служат оси ОХ и ОУ, следовательно в этой точке параболы пересекаются под прямым углом.

Для вычисления коэффициента касательной к параболе в точке А запишем ее уравнение в виде :

, .

Вычислим угловой коэффициент касательной к параболе в точке А, записав ее уравнение в виде :

, .

Найдем угол между касательными, зная их угловые коэффициенты и :

; .

7. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением . В какой момент времени скорость движения тела окажется равной 0?

Решение:

Скорость движения тела есть первая производная от пути по времени:

.

Полагая , получим:

, , , .

Таким образом, скорость тела равна 0 в конце 2 и 4 секунды.

Логарифмическое дифференцирование

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е.

.

Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием.

Пример. Найти производную функции .

Решение:

Логарифмируя данную функцию, получаем:

,

.

Дифференцируем обе части равенства по х:

.

Отсюда .

Далее .

Окончательно имеем:

.

Ответ: .

Производная второго порядка

Производной второго порядка или второй производной называется производная от ее первой производной, т.е. .

Обозначается вторая производная одним из следующих символов: , , .

Пример. Найти производную второго порядка функции .

Решение:

Имеем:

Ответ:

Дифференциал функции

Дифференциалом первого порядка функции называется главная часть ее приращения, линейно зависящая от приращения независимой переменной х.

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной:

.

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение:

Находим производную данной функции:

,

.

Тогда .

Ответ: .

Задание 3.

3.1 Найти первую производную функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. ;

31. ;

32. ;

33. ;

34. ;

35. ;

36. ;

37. ;

38. ;

39. ;

40. ;

41. ;

42. ;

43. ;

44. ;

45. ;

46. ;

47. ;

48. ;

49. ;

50. ;

51. ;

52. ;

53. ;

54. ;

55. ;

56. ;

57. ;

58. ;

59. ;

60. ;

61. ;

62. ;

63. ;

64. ;

65. ;

66. .

3.2 Найти вторую производную функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

3.3 Найти дифференциал функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

3.4 Решить задачи:

1. Тело движется по закону . Чему равна средняя скорость точки за промежуток времени от до ?

2. Две точки движутся по законам , . В какой момент времени их скорости равны?

3. Тело движется вверх по закону . Какой наивысшей высоты достигнет тело?

4. Тело движется по закону . В какой первый момент времени ускорение тела равно 0?

5. Тело движется по закону . Какой путь пройдет тело от начала движения до первой остановки?

6. Тело движется по закону . В какой первый момент времени скорость точки равна 0?

Ответы:

1. 15 м/с; 2. 2 сек; 3. 14,9 м; 4. ; 5. ; 6. .

3.5 Решить задачи:

1. Составить уравнение нормали к параболе в точке с абсциссой .

2. Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой .

3. Составить уравнение касательной к линии в точке с абсциссой .

4. Составить уравнение нормали к линии в точке с абсциссой .

5. Составить уравнение нормали к параболе в точке с абсциссой .

6. Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой .

7. Составить уравнение касательной к линии в точке с абсциссой .

8. Составить уравнение нормали к линии в точке с абсциссой .

9. К кривой провести касательные параллельные прямой .

10. Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой .

11. В какой точке кривой касательная к ней параллельна прямой .

12. Найти угол между параболами и .

13. Прямая параллельна прямой и проходит через точку (2;12). Найти k и b.

14. Чему равен угловой коэффициент касательной к окружности в точке М(3;4)?

Ответы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. , ;

10. .

11. ;

12. ;

13. , ;

14. .

Исследование поведения функций

Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.

Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при выполняется неравенство .

Признаки возрастания (убывания) функции:

Если дифференцируемая функция на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке положительна (отрицательна), т.е. .

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными.

Пример. Найти интервалы монотонности и критические точки функции .

Решение:

Данная функция определена при .

Находим ее производную:

.

Производная обращается в нуль при .

В области определения при найденная точка разбивает область определения функции на интервалы и ; в первом из них , а во втором . Это означает, что в интервале функция убывает, а в интервале - возрастает.

Точка из области определения функции называется точкой минимума функции , если для любых достаточно малых выполняется неравенство .

Точка из области определения функции называется точкой максимума функции , если для любых достаточно малых справедливо неравенство .

Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции, а значение функции в этих точках – минимумом (максимумом) или экстремумом функции.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение:

Функция определена при .

Находим :

.

Полагая получим критическую точку ( ).

Составим таблицу:

х	(0;2)	2	( )
	–	0	+
у		Минимум

Ответ: .

Пример. Исследовать функцию на экстремум по второй производной.

Решение:

Функция определена на всей числовой оси.

Находим производную:

.

Решая уравнение получим критические точки и .

Теперь найдем :

Определим знак второй производной в критических точках. Т.к. , то при функция имеет минимум; т.к. при , то функция в точке имеет максимум.

Вычислим значения функции в точках экстремума:

; .

Ответ: , .

3.6 Исследовать на экстремум, монотонность:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. .

Ответы:

1. , возрастает на , убывает на ;

2. , возрастает на , убывает на ;

3. , убывает на и на возрастает;

4. , ;

5. , ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. , ;

11. ;

12. функция возрастает на всей области определения, экстремума нет;

13. ;

14. ;

15. экстремума нет, функция монотонно возрастает;

16. ;

17. экстремума нет, функция возрастает;

18. , ;

19. ;

20. , ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. , ;

26. , ;

27. ;

28. .

Наименьшее и наибольшее значение функции

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

1. Найти критические точки, принадлежащие данному промежутку и вычислить значение функции в этих точках;

2. Найти значения функции на концах промежутка;

3. Сравнить полученные значения; тогда наибольшее и наименьшее из них являются наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции , .

Решение:

Имеем

.

Найдем критические точки:

, , и - критические точки.

Находим , .

Вычислим значение функции на концах промежутка:

и .

Итак, наименьшее значение функции равно 0 и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно е и достигается на правом конце промежутка.

3.7 Найти наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Ответы:

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , .

Исследование функции на выпуклость, вогнутость, точку перегиба

Кривая называется выпуклой (вогнутой) в некотором промежутке, если она расположена ниже (выше) касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком второй производной , а именно: если в некотором промежутке , то кривая выпукла (вогнута) в этом промежутке.

Точкой перегиба кривой называется такая ее точка, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.

Пример. Найти промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции .

Решение:

Область определения данной функции: .

Дифференцируем функцию дважды:

.

Вторая производная обращается в 0 при . Эта точка разбивает область определения на 2 промежутка: и .

В первом промежутке , во втором . Следовательно, в промежутке кривая выпукла, а в промежутке - вогнута, а точка перегиба имеет координаты .

3.8 Найти точки перегиба кривых, промежутки выпуклости и вогнутости:

1. ; 4. ;

2. ; 5. ;

3. ; 6. .

Ответы:

1. ;

2. , ;

3. ;

4. , ;

5. ;

6. .