Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс лекций.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания ставят своей целью помочь студентам подготовиться к переводному экзамену на уровень высшего образования. Их можно рекомендовать также для проведения практических занятий по высшей математике в высших учебных заведениях.

В основу практических указаний положена программа переводного экзамена на уровень высшего образования.

Задачи, разобранные в методических указаниях, соответствуют всем уровням сложности. Это позволяет применять индивидуальный подход на занятиях.

Чтобы пользоваться данными указаниями, студентам необходимо сначала изучить теоретический материал по имеющимся учебникам высшей математики и только после этого следует приступать к решению задач.

Тема I. Комплексные числа

, – действительная часть КЧ,

b – мнимая часть КЧ,

Степень мнимой единицы:

и - комплексно-сопряженные числа.

Действия с КЧ в алгебраической форме:

1. ;

2. ;

3. ;

;

4. .

- модуль КЧ, .

- аргумент комплексного числа, который вычисляется в зависимости от расположения КЧ.

I четверть: ;

II четверть: ;

III четверть: ;

IV четверть: .

Если числа расположены на координатных осях:

- тригонометрическая форма записи КЧ.

Формулы Эйлера:

- показательная форма КЧ.

Действия над КЧ в показательной форме:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , k = 0, 1, 2,…, n – 1.

Пример 1. Найти модуль комплексного числа и записать число в показательной форме и тригонометрической форме

Переведем все числа в показательную форму:

, т.к. , .

, т.к. ,

Выполним действие:

Ответ: , , .

Пример 2. Выполнить действия в алгебраической форме, записать число в показательной форме

Используем формулу .

Найдем модуль и аргумент КЧ:

;

Ответ: .

Пример 3. Выполнить действия в показательной форме, ответ записать в алгебраической форме.

, если , .

Переведем число в показательную форму:

, , .

Выполним действия:

Ответ: 16.

Пример 4. Найти действительные числа х и у, если

Выполним действия в левой и правой части равенства:

Используем условие равенства двух комплексных чисел:

Ответ: .

Задание 1.

1.1 Выполнить действия в показательной форме, ответ записать в алгебраической форме:

1. ; Ответ: .

2. ; Ответ: .

3. ; Ответ: .

4. ; Ответ: .

5. , , ; Ответ: 2.

6. , , ; Ответ: .

7. ; Ответ: .

8. ; Ответ: .

9. ; Ответ: .

10. . Ответ: .

1.2 Найти модуль комплексного числа и записать число в показательной форме:

1. ; Ответ: .

2. ; Ответ: .

3. ; Ответ: .

4. ; Ответ: .

5. ; Ответ: .

6. ; Ответ: .

7. ; Ответ: .

8. ; Ответ: .

9. ; Ответ: .

10. . Ответ: .

Тема II. Предел функции

Постоянная b называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число , что при всех х удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

Если с – постоянная величина, то:

Если функция и имеют пределы при , то:

;
;
, если .

Из формулы (3) следует, что:

, ;
;
, ;
;
Если существует и - элементарная функция, то .

Примеры

Найти
Найти

Правило 1. Чтобы раскрыть неопределенность , заданную относительно двух многочленов, необходимо разложить их на множители и сократить.

Найти

Правило 2. Чтобы раскрыть неопределенность , где присутствуют иррациональные выражения, необходимо числитель и знаменатель дроби домножить на выражения, сопряженные иррациональным и сократить.

Найти , так как при величины и - бесконечно малые, и их пределы равны 0.

Правило 3. Если степени числителя и знаменателя равны, то искомый предел равен отношению старших коэффициентов членов дроби.

Найти .

Правило 4. Если степень числителя выше степени знаменателя, то при дробь не имеет конечного предела (предел бесконечный).

Найти .

Правило 5. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то .

Чтобы раскрыть неопределенность нужно числитель и знаменатель дроби разделить почленно на наивысшую степень переменной знаменателя.

Найти

Правило 6. При раскрытии неопределенности представить выражение в виде дроби, умножить и разделить на выражение, сопряженное иррациональному, далее используя предыдущие правила.