Решение типового примера
Пример 3(а). Дан
треугольник с вершинами
и
.
Найти его внутренний угол при вершине
.
А
С
В
Для нахождения внутреннего угла при вершине воспользуемся формулой:
.
;
.
;
;
.
Следовательно,
.
Тогда
.
Пример 3(б).
Доказать,
что точки
,
и
лежат на одной прямой.
А В С
Найдём координаты
векторов
и
:
;
.
Так как векторы и имеют общую точку , то достаточно доказать, что векторы и коллинеарны.
Для доказательства воспользуемся условием коллинеарности векторов. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны.
Координаты векторов и пропорциональны, так как
.
Тогда векторы
и
коллинеарны.
Отсюда следует, что точки
лежат на одной прямой.
Пример 3(в).
Доказать,
что точки
,
,
и
являются вершинами трапеции.
А В
D
С
Для того чтобы
четырёхугольник
являлся трапецией, надо, чтобы у него
две противолежащие стороны были
параллельны, а две другие противолежащие
стороны нет. Кроме того, вершины
и
должны быть расположены так, чтобы
векторы
и
имели противоположное направление.
Для доказательства воспользуемся условием коллинеарности векторов. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны.
Найдём координаты векторов, совпадающих со сторонами четырёхугольника:
;
;
;
.
Координаты векторов и пропорциональны, так как
.
Тогда векторы
и
коллинеарны.
Отсюда следует, что противолежащие
стороны
и
четырёхугольника
параллельны.
Так как коэффициент
пропорциональности векторов
и
равен –
,
то векторы
и
имеют противоположное направление.
Координаты векторов
и
не пропорциональны, так как
.
Тогда векторы
и
не коллинеарны. Отсюда следует, что
противолежащие стороны
и
четырёхугольника
не параллельны.
Следовательно, четырёхугольник является трапецией.
Пример 3(г).
Доказать,
что диагонали четырёхугольника с
вершинами
и
взаимно перпендикулярны.
В
A
C
D
Диагоналям в
четырёхугольнике
соответствуют векторы
и
.
Векторы
и
будут перпендикулярны, если скалярное
произведение этих векторов будет
равняться нулю. То есть векторы
и
будут перпендикулярны, если будет
выполняться равенство
.
Для доказательства найдём координаты векторов и :
;
.
Найдём скалярное
произведение векторов
и
:
.
Получили, что
.
Из чего следует, что диагонали
четырёхугольника
,
соответствующие векторам
и
перпендикулярны.