Примеры решения типовых заданий.

1. Даны вершины треугольника Найти:

1.1 уравнение стороны треугольника;

1.2 уравнение высоты

1.3 уравнение медианы

Решение. 1.1 Уравнение стороны треугольника составим, воспользовавшись формулой (6):

откуда или .

1.2 С учетом условия перпендикулярности двух прямых и , формула (10):

Тогда уравнение высоты найдем по формуле (5): откуда или

1.3 Для того, чтобы найти координаты середины отрезка точки применим формулы (2):

Имеем: тогда

Уравнение медианы составим по формуле (6):

откуда или

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно к прямой

Решение. Так как прямая проходит через одну заданную точку, воспользуемся уравнением (5). Коэффициент в нем найдем из условия параллельности прямых (9):

3. Найти расстояние от точки до прямой если

Решение. Предварительно составим уравнение прямой как прямой, проходящей через две заданные точки, формула (6):

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле (11):

4. Определить взаимное расположение двух прямых

Решение. Находим: приведя оба уравнения к виду (4), видим, что следовательно, прямые перпендикулярны.

5. Найти угол между двумя прямыми .

Решение. Для того, чтобы определить угловые коэффициенты прямых I и II, приведем их уравнения к виду (4), выразив из обоих уравнений y:

Коэффициенты при и есть угловые коэффициенты прямых

.

Угол между двумя прямыми находится по формуле (8):

=

6. Определить вид кривой II порядка используя метод выделения полных квадратов.

Решение. Сгруппируем слагаемые, содержащие в одну скобку, а содержащие в другую: Дополним выражения в скобках до полных квадратов:

Получили уравнение окружности с центром в точке ) и радиусом

7. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок , где ,а -начало координат.

Решение. Для того, чтобы найти координаты центра кривой применим формулы (2) для нахождения координат середины отрезка:

Имеем: , тогда

Радиус окружности найдем по формуле (1):

Воспользуемся нормальным уравнением окружности (12):

.

8. Составить каноническое yравнение эллипса, у которого большая полуось а эксцентриситет = .

Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид (13). Найдем малую полуось , используя формулу (14): . Величину параметра определим по формуле (13): a= . Подставив значение с в формулу (14), получим: = =16. Тогда, каноническое уравнение эллипса примет вид:

9. Построить параболу, если задана ее директриса

Решение: Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид (19): а уравнение ее директрисы . Исходя из условия задания, , отсюда Каноническое уравнение кривой примет вид: . Строим параболу:

10. Вычислить эксцентриситет и определить фокусное расстояние гиперболы

Решение. Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду, разделив на 36 обе части равенства: . Видим, что действительная полуось а мнимая полуось . Для гиперболы справедливо равенство (17): отсюда , Тогда, фокусное расстояние . Эксцентриситет гиперболы определим по формуле (18): .