Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Вологодская государственная молочнохозяйственная академия имени Н.В. Верещагина»

Кафедра математики и механики

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НА ПЛОСКОСТИ

методические указания и контрольные задания

для студентов бакалавриата направлений подготовки

35.03.02 – «Технология заготовительных и деревоперерабатывающих производств», 35.03.04 – «Агрономия», 35.03.05 – «Садоводство», 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, 36.03.02 Зоотехния, 35.03.01 Лесное дело, 110800 — «Агроинженерия», 151000 — Технологические машины и оборудование», 221700 — «Стандартизация и метрология», 260200 — «Продукты питания животного происхождения», 38.03.01 — Экономика, 38.03.02 — Менеджмент. (очная, заочная и очно-заочная формы обучения)

Вологда–Молочное

2015

УДК 514.12

ББК 22.1 р30

М341

Разработала:

К.э.н., доцент кафедры математики и механики В.Ю. Ивановская.

Рецензенты:

к.э.н, доцент кафедры математики и механики Кузнецова Н.И.

к.т.н, доцент кафедры химии и физики Киселева Н.В.

М341 Аналитическая геометрия на плоскости: Методические указания для студентов бакалавриата направлений подготовки 35.03.02 – «Технология заготовительных и деревоперерабатывающих производств», 35.03.04 – «Агрономия», 35.03.05 – «Садоводство», 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, 36.03.02 Зоотехния, 35.03.01 Лесное дело, 110800 — «Агроинженерия», 151000 — Технологические машины и оборудование», 221700 — «Стандартизация и метрология», 260200 — «Продукты питания животного происхождения», 38.03.01 — Экономика, 38.03.02 — Менеджмент. (очная, заочная и очно-заочная формы обучения).

/ Составила к.э.н., доцент кафедры математики и механики В.Ю. Ивановская.– Вологда–Молочное: ИЦ ВГМХА, 2015. – 25 с.

Составлено в соответствии с требованиями (федеральный компонент) к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки бакалавра и дипломированного специалиста по математическому и естественнонаучному циклу с целью оказания помощи при написании контрольной работы студентами заочной и очно-заочной формы обучения.

Предназначено для студентов заочной и очно-заочной формы обучения (бакалавриат направлений подготовки 35.03.02 – «Технология заготовительных и деревоперерабатывающих производств», 35.03.04 – «Агрономия», 35.03.05 – «Садоводство», 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, 36.03.02 Зоотехния, 35.03.01 Лесное дело, 110800 — «Агроинженерия», 151000 — Технологические машины и оборудование», 221700 — «Стандартизация и метрология», 260200 — «Продукты питания животного происхождения», 38.03.01 — Экономика, 38.03.02 — Менеджмент. (очная, заочная и очно-заочная формы обучения).

Публикуется в соответствии с планом издательской деятельности на 2015 год, утверждённым решением Ученого совета ____2015 года, протокол №__.

УДК 514.12

ББК 22.1 р30

 Ивановская В.Ю., 2015

 ИЦ ВГМХА, 2015

Аналитическая геометрия на плоскости

Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные оси координат, точкой пересечения которых является точка начала отсчета и определено, какая из осей является первой, а какая второй, то говорят, что в пространстве задана прямоугольная система координат.

Рис.1

Расстояние между точками на плоскости

Пусть на плоскости заданы точки и Найти расстояние между ними, т.е. найти .

Рис.2

Т.к. треугольник прямоугольный, то из теоремы Пифагора следует, что ,

а т.к. и ,

то окончательно получаем, что

. (1)

Координаты середины отрезка с концами в точках и определяются по формулам:

и . (2)

Уравнения прямой на плоскости

Простейшей линией на плоскости является прямая. Она может быть задана общим уравнением:

(3)

причем постоянные не равны нулю одновременно. В зависимости от значений постоянных возможны следующие частные случаи:

-  – прямая проходит через начало координат

- прямая параллельна оси

- – прямая параллельна оси

-  – прямая совпадает с осью

-  – прямая совпадает с осью

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

(4)

где tgα угловой коэффициент.

Если прямая проходит через точку то координаты точки удовлетворяют уравнению (4):

Вычтем из уравнения (4) последнее, получим уравнение прямой, проходящей через заданную точку:

. (5)

Также его называют уравнением пучка прямых, т.к. таких прямых множество.

Пусть прямая проходит через две точки и Подставим в уравнение (5) координаты точки :

и выразим отсюда

тогда

. (6)

Получили уравнение прямой через две заданные точки.

Пусть прямая пересекает ось в точке а ось — в точке . Подставляя в уравнение (6) координаты точек выводим уравнение прямой в отрезках:

(7)

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть даны две прямые и заданы уравнениями и (см. рис.3).

Р и с. 3.

Угол между прямыми, на который нужно повернуть прямую против часовой стрелки до совмещения её с прямой найдем по формуле:

. (8)

Условие параллельности прямых: если прямые параллельны, то и Тогда из формулы (8) следует, что т.е.

(9)

Условие перпендикулярности: если прямые перпендикулярны, то и тогда не существует, а

.

Отсюда

_или

(10)

В этом заключается условие перпендикулярности двух прямых.