4.3. Дифференциальные уравнения второго порядка
Общий вид дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно старшей производной, следующий:
(4.3.1)
.Общее решение
(4.3.2)
этого
уравнения содержит две независимые
произвольные постоянные
и
.
Г
еометрически
общее решение (4.3.2) представляет собой
бесконечную совокупность интегральных
кривых, зависящую от двух независимых
параметров
и
.
Вообще говоря, через каждую точку М0(x0,
y0)
плоскости xOy
проходит пучок интегральных кривых
(рис. 4.2).
Для
выделения из общего уравнения (4.3.1)
некоторого частного решения необходимо
иметь два начальных условия: у=у0,
при х=х0.
Тогда
(4.3.3)
Из системы (4.3.3) можно, вообще говоря, определить постоянные и , и тем самым найти частное решение
,
у
(4.3.4)
довлетворяющее уравнению (4.3.1) и заданным начальным условиям
и
(задача Коши).
В
(4.3.5)
случае
решение находим двукратным интегрированием.
Интегрируя, будем иметь
.
Интегрируя еще раз, окончательно получаем
,
где и – произвольные постоянные, и неопределенные интегралы трактуются как некоторые первообразные соответствующих функций.
4.3.1. Случаи понижения порядка дифференциальных уравнений
У
(4.3.6)
кажем два случая, когда дифференциальное уравнение второго порядка
приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.
С
(4.3.7)
лучай 1. Пусть правая часть дифференциального уравнения (4.3.6) явно не содержит х, т.е. уравнение имеет вид
.
Полагая здесь
,
где p – функция от y, получим дифференциальное уравнение первого порядка
,
где роль независимой переменной играет y.
Случай 2. Пусть правая часть дифференциального уравнения (4.3.6), явно не содержит у, т.е. уравнение имеет вид
(4.3.8)
.Полагая
и
,
получим уравнение первого порядка
с неизвестной функцией р.
Пример 4.3.1. Решить уравнение
(4.3.9)
.
○ Согласно
случаю 1 полагаем
и
.
Тогда уравнение (4.3.9) примет вид
.
Отсюда:
1) p=0,
т.е. у=С;
или 2)
,
т.е.
и
.
Потенцируя, будем иметь
,
т.к.
,
то
.
После интегрирования получаем
,
и, значит,
,
,
где
и
– произвольные постоянные.●
Пример 4.3.2. Найти решение уравнения
(4.3.10)
,
удовлетворяющее
начальным условиям:
и
при
.
○В уравнении (4.3.10) полагаем и . Тогда
,
или
(4.3.11)
.
Полученное
уравнение – однородное1,
поэтому примем
,
.
Подставляя в уравнение (4.3.11), будем иметь
,
,
,
.
Интегрируя, получаем
и,
следовательно,
,
т.е.
и
.
Для
определения постоянной
используем начальные условия:
при
.
Получаем
,
т.е.
=0
и, т.о.,
.
Отсюда
имеем
и
(4.3.12)
.
Постоянную
определяем из начальных условий. Полагая
и
в формуле (4.3.12), получаем
,
т.е.
=0.
Следовательно, искомое частное решение
есть
.
●
4.3.2. Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
Р
(4.3.13)
ассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
,
коэффициенты
которого
и
непрерывны.
Пусть
и
– частные решения уравнения (4.3.13), то есть решения, не содержащие произвольных постоянных.
О
(4.3.14)
пределение 4.3.1. Два решения
и
называются линейно
зависимыми, если можно
подобрать постоянные числа
и
,
не равные одновременно нулю такие, что
линейная комбинация этих функций
тождественно равна нулю, то есть
.
В
противном случае, если таких чисел
подобрать нельзя, решения
и
называются линейно
независимыми.
Иными словами, если функции
и
линейно независимы и имеет место
тождество (4.3.14), то
.
Очевидно, решения и будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны друг другу, т.е. если
(4.3.15)
(или
наоборот
),
где постоянная а
– коэффициент пропорциональности.
Зная два линейно независимых решения и уравнения (4.3.13), легко получить общее решение этого уравнения. А именно, имеет место теорема.
Т
(4.3.16)
еорема 4.3.1. Если и - линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка (4.3.13), то общее решение уравнения есть линейная комбинация этих частных решений, т.е. общее решение уравнения (4.3.13) имеет вид
,
где
и
– произвольные постоянные (
,
).
Итак, чтобы найти общее решение уравнения (4.3.13), достаточно знать два его частных линейно независимых решения и .