4.2.1. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение 4.2.1. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид:

(4.2.3)

где – функции только переменной х, а – функции только переменной у.

Для решения уравнения (4.2.3) разделим обе его части на произведение , предполагая, что оно не равно нулю, тогда получим

(4.2.4)

В уравнении (4.2.4) при dx стоит функция только от х, а при dy – только от у. В этом случае говорят, что переменные разделены.

Беря интегралы от левой и правой частей равенства (4.2.4), получаем:

(4.2.5)

.

Здесь под интегралами понимаются некоторые соответствующие первообразные.

Соотношение (4.2.5) и представляет собой общее решение уравнения (4.2.3).

Кроме того, решениями уравнения (4.2.3) могут быть корни уравнения , откуда

или ,

или – также решения уравнения (4.2.3).

Пример 4.2.1. Решить уравнение .

○Из уравнения получим xdy=ydx, х0.

Пусть y0, тогда разделим обе части уравнения на хy0, получим:

(разделили переменные).

Интегрируя последнее равенство, получим:

, откуда

.

Положим , тогда

,

,

.

Решим уравнение хy=0. Так как х0, то у=0. Так как у=0 получается из решения при С=0, то решением данного уравнения является . ●

4.2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 4.2.2. Функция P(x; y) называется однородной степени n, если для любого числа k имеет место тождество:

Р

(4.2.6)

ассмотрим дифференциальное уравнение

Определение 4.2.3. Дифференциальное уравнение первого порядка (4.2.6) называется однородным, если коэффициенты и при дифференциалах переменных х и у являются однородными функциями одной и той же степени.

При помощи подстановки

(или ),

где u – неизвестная функция, однородное уравнение (4.2.6) приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 4.2.2. Решить дифференциальное уравнение:

.

○ Здесь , – однородные функции первой степени, поэтому данное уравнение – однородное.

Положим y=ux, тогда

dy=xdu+udx

Подставляя данные выражения в уравнение, получим:

(x+ux)dx+x(xdu+udx)=0 или

xdx+uxdx+x²du+uxdx=0

x²du+(2u+1)dx=0.

,

,

, откуда и .

Обозначив , получим: .

Решим уравнения и . Получим . Второе из них удовлетворяет найденному выше решению нашего уравнения.

Т.о. окончательно имеем , x=0. ●

4.2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Л

(4.2.7)

инейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

где – заданные функции.

Е

(4.2.8)

сли , то уравнение (4.2.7) можно записать в приведенном виде:

,

где (f(x) – свободный член).

Будем предполагать, что коэффициент p(x) и свободный член f(x) уравнения (4.2.8) непрерывны на некотором интервале (a, b).

Д

(4.2.9)

ля решения уравнения (4.2.8) искомую функцию y представляют в виде произведения

,

где u – некоторое ненулевое решение соответствующего однородного уравнения

(4.2.10)

,

а v – новая неизвестная функция.

Т

(4.2.11)

.к. (получаем дифференцируя формулу (4.2.9) )

,

то, подставляя выражения (4.2.9) и (4.2.11) в дифференциальное уравнение (4.2.8), получаем:

(4.2.12)

, т.е.

и

(4.2.13)

ли, в силу (4.2.10), имеем:

.

Заметим, что фактически функция u подбирается так, чтобы коэффициент при v в уравнении (4.2.12) был равен нулю.

Из уравнений (4.2.10) и (4.2.13) последовательно находятся функции u и v, причем для u выбирается какое-нибудь конкретное решение, отличное от нуля. Подставляя полученные выражения для функций u и v в формулу (4.2.9), найдем искомую функцию y.

Примечание. На практике нет необходимости линейное уравнение (4.2.7) приводить к виду (4.2.8) – можно сразу применять подстановку (4.2.9).

Пример 4.2.3. Решить уравнение:

.

○ Полагаем , тогда , откуда при подстановке получаем:

,

,

.

Подбираем u такое, что

, т.е.

, откуда

,

,

.

Положим , получим

, откуда

.

Тогда и , откуда

,

,

.

. ●