Метод золотого сечения
Будем считать, что функция определена и унимодальна на отрезке . Пусть требуемая точность вычислений.
Как известно, золотым сечением отрезка называется деление отрезка на две неравные части так, чтобы отношение длины всего отрезка к длине большей части равнялось отношению длины большей части к длине меньшей части отрезка.
Обозначим
точку, делящую отрезок
в отношении золотого сечения через
.
Тогда
(1.9)
.
Так как
-посторонний
корень.
Получаем
(1.10)
Очевидно, что точка
,
у которой
также делит отрезок
в отношении золотого
сечения.
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Замечательно то, что
точка
в свою очередь
делит отрезок
в отношении золотого сечения. Так как
и
.
Аналогично точка
делит отрезок
в отношении золотого сечения. Опираясь
на эти свойства, можно предложить
следующий метод минимизации унимодальной
функции
на отрезке
.
Положим
На отрезке
.возьмем
точки
,
производящие золотое сечение отрезка,
и вычислим
Если
то
иначе
Поскольку функция
унимодальна на отрезке
Ø.
Кроме того
и при этом внутри отрезка
находится точка
,
которая производит
золотое сечение отрезка
.
Предположим, что уже
найдены точки
,
вычислены значения функции
,
найден отрезок
,
такой, что
Ø
(1.14)
и известна точка
производящая
золотое сечение отрезка
.
Тогда в качестве
следующей точки возьмем точку
также производящую
золотое сечение отрезка
.
Пусть для определенности
.
(Случай
рассматривается
аналогично).
Если
то
иначе
Новый отрезок
таков, что
Ø,
,
(1.15)
точка
производит золотое
сечение отрезка
и
. (1.16)
Итак,
проводим описанную выше процедуру до
тех пор пока не будет выполнено неравенство
, где
- заданная точность.
После
этого в считаем, что
при этом максимальная абсолютная
погрешность
(1.17)
Метод Фибоначчи.
Для
реализации этого метода нам понадобятся
числа Фибоначчи. Напомним, что
.
Остальные числа Фибоначчи определяются
по формуле:
(1.18)
Будем
считать, что функция
определена и унимодальна на отрезке
.
Пусть
- параметр метода.
Положим
Находим точки.
(1.19)
(1.20)
(1.21)
На отрезке .возьмем точки , и вычислим
Если то иначе
Поскольку функция
унимодальна на отрезке
Ø.
Кроме того
и при этом внутри отрезка
находится точка
.
С помощью метода математической индукции можно показать, что на k-ом шаге (k<n), когда вычислены значения функции в точках
и получен отрезок
,его
длина будет
(1.22)
Причем точка
(
со значением
совпадает с одной
из точек:
(1.23)
(1.24)
Заметим,
что
;
.
Расположены
симметрично на отрезке
относительно его
середины.
Как видно из (1.23)
и (1.24)
при
точки
и
совпадают,
то есть
совпадают с серединой
отрезка
.
В заключение,
нарушая симметричность процесса,
вычислении
функции проводится в точке
(или точке
)
в зависимости от
того, что требует метод.
Последний отрезок таков, что Ø,
,
(1.25)
точка является внутренней точкой отрезка и . (1.26)
Следует подчеркнуть, что метод Фибоначчи для своей реализации требует, чтобы число n вычислений значений минимизируемой функции было задано заранее. Выбор первой точки в этом методе невозможен без знания n. В тех случаях, когда число n по каким-либо причинам не может быть задано заранее следует использовать метод золотого сечения.
Заметим, что
(1.27)
(1.28)
А, значит, при больших n начальные точки и методов Фибоначчи и золотого сечения практически совпадают.