Глава 1. Одномерная оптимизация

1. Основные понятия

R- множество действительных(вещественных чисел).

. функция определенная на множестве и принимающая во всех точках этого множества конечные значения.

Рассмотрим задачу

Задача сводится к данной заменой знака целевой функции.

Определение 1. Точку назовем точкой минимума функции на множестве , если . Величину назовем наименьшим или минимальным значение функции на множестве .

Множество всех точек минимума обозначим через

Определение 2. Функция называется ограниченной снизу на множестве , если

Определение 3. Функция называется не ограниченной снизу на множестве , если

Определение 4. Пусть функция ограничена снизу на множестве . Число назовем точной нижней гранью функции на множестве , если

1.

2.

Определение 5. Последовательность называется минимизирующей для функции на множестве , если

Определение 6. окрестностью точки называется множество

Определение 7. .[2] Пусть функция определена и непрерывна на отрезке .Назовем ее унимодальной на этом отрезке, если такие, что

1. строго монотонно убывает при (если )

2. строго монотонно возрастает при (если )

3. при

Замечание. Случаи, когда один или два из отрезков вырождаются в точку не исключены.

2. Классический подход

Под классическим мы будем понимать тот подход, который основан на дифференциальном исчислении и подробно описан в учебниках по математическому анализу.

Пусть функция кусочно-непрерывна и кусочно-гладкая на отрезке . Тогда, как известно, точками экстремума могут быть лишь те точки, где выполняется одно из следующих условий:

1. либо терпит разрыв.

2. либо непрерывна, но ее производная терпит разрыв.

3. либо производна существует и .

4. либо или .

Приведем без доказательства сначала необходимые, а потом достаточны условия существования экстремума.

Теорема 1. Пусть функция определена, непрерывна и дифференцируема на множестве .Если точка - точка локального минимума, то .

Теорема 2. Пусть функция определена, непрерывна и дважды дифференцируема на множестве .Если точка - точка локального минимума, то .

Теорема 3. Пусть функция определена, непрерывна и дифференцируема на множестве . Если в точке - выполняются следующие условия:

1. .

2. и то точка ‑ точка локального минимума.

Теорема 4. Пусть функция определена, непрерывна и дважды дифференцируема на множестве . Если в точке - выполняются следующие условия:

1. .

2. то точка - точка локального минимума.

Теорема 5. Пусть функция определена, непрерывна и имеет на множестве непрерывные производные до порядка n включительно. Если в точке -: а то точка - точка локального минимума если и не является точкой экстремума, если .

2. то точка - точка локального минимума.

3. Метод деления отрезка пополам.

Простейшим методом минимизации функции одной переменной является метод деления отрезка пополам (метод дихотомии). Опишем его. Будем считать, что функция определена и унимодальна на отрезке . Пусть требуемая точность вычислений, - параметр метода. Начинаем с выбора двух точек

(1.1)

. (1.2)

После этого вычисляем значения функции в этих точках и сравниваем между собой.

Если то полагаем ; иначе

Так как функция определена и унимодальна на отрезке , то ясно, что Ø, а его длина равна

(1.3)

Применим метод математической индукции. Пусть отрезок уже известен, и его длина равна

(1.4)

Тогда на этом отрезке берем точки

, (1.5)

расположенные на отрезке симметрично относительно его середины и вычисляем значение функции в этих точках.

Если то полагаем

; иначе

Длина получившегося отрезка равна

(1.6)

Ø

Описанный процесс можно продолжать до тех пор пока не будет выполнено неравенство , где - заданная точность. Отсюда имеем:

(1.7)

Так как каждое деление пополам требует двух вычислений значений функции, то для достижения точности потребуется всего

таких вычислений.

После определения отрезка в качестве приближения точки выбираем - внутреннюю точку данного отрезка. При этом достигается максимальная абсолютная погрешность (1.8)

Разумеется, можно вместо взять точку , однако в этом случае для нахождения требуется дополнительное вычисление функции.