Замечания
1. В качестве начальных значений параметра обычно выбирают
;
2. Можно использовать разные параметры штрафа для внутренних и внешних штрафных функций.
3.Метод предложен Фиакко А. и Мак-Кормиком Г. (Fiacco A.V., McCormic G.P.)
4. Справедливы замечания для внешних штрафных функций и для барьерных функций.
Метод множителей.
Будем предполагать, что дважды непрерывно дифференцируемая функция. Снова рассмотрим задачу:
(3.5)
Данный метод аналогичен методу внешних штрафных функций, но штраф добавляется не к целевой функции, а к классической функции Лагранжа.
В результате задача на условный минимум сводится к решению последовательности задач поиска безусловного минимума модифицированной функции Лагранжа.
(3.18)
(3.19)
Задается
начальная точка
.
На каждой итерации ищется точка минимума
модифицированной функции Лагранжа с
помощью одного из методов безусловной
минимизации. Полученная точка
используется в качестве начальной на
следующей итерации.
Алгоритм
1. Задать: начальную точку точность ; ; ; ; ит начальные значения параметра
2. Составить модифицированную функцию Лагранжа.
где
3.Находим
точку
безусловного минимума функции
с помощью одного из методов безусловной
минимизации 0,1 или 2 порядка:
.
В качестве начальной выбирается точка
,
при этом должны быть заданы все начальные
параметры соответствующего метода
4. Проверяем условия окончания работы метода:
a) Если
,
то считаем, что найдено оптимальное
решение
;конец;
иначе
б)
для ограничений равенств,
для ограничений неравенств,
Переход на 2.
Сходимости метода множителей приводится в []
Замечания
1. В качестве начальных значений параметра обычно выбирают
;
.
Целесообразно выбирать значение
близким к
.
Если выбрать начальное значение
,
то первая вспомогательная задача
минимизации совпадает с задачей, решаемой
в методе внешних штрафных функций.
2. Обычно методом множителей удается найти условный экстремуму за меньшее число итераций, чем метод внешних штрафных функций. При это для сходимости не требуется, чтобы . Минимум модифицированной функции Лагранжа , начиная с некоторого , совпадает с минимумом в исходной задаче. Это приводит также к тому, что проблема овражности не является такой острой, как в методе внешних штрафных функций.
3.Метод предложен Пауэллом и Хестенсом. (Powell M.J.D., Hestenes M.R.). Он имеет большое количество модификаций.
4.
Если
,
то через конечное число итераций, те
множители, которые соответствуют
ограничениям, не являющимися активными
в точке
обратятся в нуль.
Метод точных штрафных функций
Будем предполагать, что дважды непрерывно дифференцируемая функция. Снова рассмотрим задачу:
(3.5)
Идея метода заключается в том, чтобы для выбранных соответствующим образом параметров штрафа однократная безусловная минимизация давала решение исходной задачи.
При построении вспомогательной функции могут использоваться
1. недифференцируемые точные штрафные функции.
(3.20)
Дифференцируемые штрафные функции (для задач с ограничениями типа равенств,
)
(3.21)
где
- классическая функция Лагранжа.
Для минимизации недифференцируемых штрафных функций можно применять только методы минимизации функций нескольких переменных без ограничений нулевого порядка, а для дифференцируемых – также методы первого и второго порядков.
\