Метод внешних штрафных функций
Будем
предполагать, что
дважды непрерывно дифференцируемая
функция. Рассмотрим задачу:
(3.5)
Рассмотрим вспомогательную функцию
- штрафная функция,
-
параметр. Наиболее часто используется
следующая штрафная функция:
/
(3.12)
Здесь
- срезка.
(3.13)
Штрафная функция обладает свойством:
,
если нарушаются ограничения.
Начальная
точка задается вне допустимой области.
На каждой итерации ищется точка
минимизирующую вспомогательную функцию
.
Полученная точка
используется в качестве начальной на
следующей итерации. При неограниченном
возрастании параметра
последовательность
стремится к точке условного минимума
.
Алгоритм
1.Задать: начальную точку ;точность ; ; ;
2. Составить вспомогательную функцию , где
3. Находим
точку
безусловного минимума функции
с помощью одного из методов безусловной
минимизации 0,1 или 2 порядка:
.
В качестве начальной выбирается точка , при этом должны быть заданы все начальные параметры соответствующего метода.
4. Проверяем условия окончания работы метода:
a) Если
,
то считаем, что найдено оптимальное
решение
;конец;
иначе
б)
Переход
на 2.
Теорема
18.
Пусть
единственное
решение задачи поиска условного минимума,
а функции
непрерывно дифференцируемы в
окрестности точки
.
Тогда для достаточно больших значений
найдется точка
локального минимума функции
в окрестности точки
и
.[1]
Замечания
1. В качестве начальных значений параметра обычно выбирают
;
2.
Поскольку сходимость метода обеспечивается
при
,
возникает вопрос, нельзя ли получить
решение, взяв сразу в качестве
достаточно
большое число. Однако, при таком подходе
функция
становится сильно овражной, и методы
безусловной оптимизации работаю слишком
медленно.
3. При решении задач процедура завершается при некотором конечном значении параметра . При этом приближенное решение, как правило, не лежит в области допустимых решений. Это один из недостатков метода. Именно поэтому метод и называют методом внешних штрафных функций.
4. Точка - точка локального минимума функции . Однако, функция может быть неограниченной снизу и процедуры методов безусловной минимизации могут расходиться. Это надо учитывать при реализации данного метода.
5. В методе внешних штрафных функций имеется тесная связь между значением параметров штрафа и множителями Лагранжа для регулярной точки минимума:
(3.14)
При этом
Метод барьерных функций
Будем предполагать, что дважды непрерывно дифференцируемая функция. Рассмотрим задачу:
(3.15)
Идея метода заключается в сведении задачи на условный минимум к решению последовательности задач поиска минимума вспомогательной функции:
,
Где штрафная функция, а параметр штрафа. Как правило, используются такие штрафные функции:
a)
- обратная штрафная функция.
б)
- логарифмическая штрафная функция.
Обе штрафные функции определены и непрерывны внутри множества
и стремятся к бесконечности при
приближении к границе.
Логарифмическая
штрафная функция положительна при
и отрицательна при
.
Начальная точка задается внутри множества . На каждой итерации ищется точка минимума вспомогательной функции с помощью одного из методов безусловной минимизации. Полученная точка
используется в качестве исходной на следующей итерации, при этом надо вести контроль, чтобы точки не вышли за пределы допустимого множества . Поэтому такие штрафные функции называют также барьерными.