2.1.3. Проекции плоских фигур

Фигуры, все точки которых лежат в одной плоскости, называют плоскими. Построение их проекций сводится к построению проекций ряда точек периметра фигуры.

Если плоская фигура перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, то она занимает частное положение. Любая плоская фигура проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если она параллельна этой плоскости проекций (рис. 2.7, 2.12).

а б

Рис. 2.12

Например, на рис. 2.12, а приведены проекции круга, расположенного в горизонтальной плоскости уровня Г параллельной горизонтальной плоскости проекций П₁. На эту плоскость проекций круг проецируется в натуральную величину. Два взаимоперпендикулярных диаметра AB и CD являются проецирующими прямыми и одновременно прямыми уровня.

Плоская фигура на рис. 2.12, б расположена во фронтальной плоскости уровня Ф, параллельной фронтальной плоскости проекций П₂. На эту плоскость проекций плоский многоугольник проецируется в натуральную величину. Прямые, образующие плоскую фигуру, являются проецирующими прямыми и одновременно прямыми уровня.

Если плоская фигура проецируется на какую-либо плоскость проекций в виде прямой линии, то она расположена в проецирующей плоскости (рис.

2.8, 2.13).

Например, на рис. 2.13, а приведены проекции круга, расположенного во фронтально-проецирующей плоскости Σ. На плоскость П₂ круг проецируется в прямую линию, на плоскость П₁ – в эллипс. Прямая АВ является фронтальной прямой уровня и проецируется на плоскость П₂ в натуральную величину, а на плоскость П₁ с искажением. Прямая CD проецируется на плоскость П₁ в натуральную величину. Плоский многоугольник на рис. 2.13, б расположен в горизонтально проецирующей плоскости.

а б

Рис. 2.13

Точки, лежащие на одной проецирующей прямой, называют конкурирующими. Путем анализа положения этих точек, принадлежащих прямым, определяют взаимное положение прямых, а именно: какая из прямых, изображенных на комплексном чертеже, ближе или дальше от наблюдателя. На рис. 2.12, а, 2.13, а приведены фронтально конкурирующие точки C и D. При взгляде на фронтальную плоскость проекций точка С закрывает точку D, т. к. точка С находится ближе к наблюдателю.

Фронтальная проекция С₂ точки С закрывает фронтальную проекцию D₂ точки D. Фронтальная проекция D₂ точки D показана в скобках: С₂ ≡ (D₂).

Горизонтально конкурирующие точки 3, 4, 8 и 7; 1, 2 и 5, 6 приведены на рис. 2.12, б.

2.1.4. Определение натуральной величины плоской фигуры

Решение задач данного типа значительно упрощается, если геометрические элементы занимают частное положение. Теория построения чертежа позволяет путем несложных преобразований перейти от общих положений геометрических элементов к частным. Эти построения сводятся к перемене плоскостей проекций и вращению вокруг осей. В рамках данного пособия рассмотрен метод перемены плоскостей проекций для определения натуральной величины плоской фигуры.

Метод замены плоскостей проекций

Этот метод заключается в замене одной плоскости проекций новой плоскостью, перпендикулярной к незаменяемой. Положение геометрических объектов в пространстве остается неизменным. Например, рассмотрим замену плоскости П₂ на новую плоскость проекций П₄ (рис. 2.14).

а б

Рис. 2.14

Новую плоскость проекций П₄ располагают перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций П₁ (рис. 2.14, а). Для перехода от пространственного изображения к плоскому плоскость П₄ путем ее вращения во-

П¹ круг новой оси _П4 совмещают с плоскостью проекций П₁ (рис. 2.14, б). Тогда проекция А₄ располагается на новой линии связи А₁А₄, перпендикулярной но-

П¹ вой оси проекций _П4 .

Новая плоскость проекций П₄ заменяет старую фронтальную плоскость проекций П₂. Высота h точки А изображается одинаково в натуральную величину на плоскости П₂ и П₄ (рис. 2.14, б). Замену плоскостей проекций можно производить несколько раз.

Если плоская фигура занимает общее положение, то для нахождения ее натуральной величины перемену плоскостей проекций производят два раза. Первой переменой новую плоскость вводят перпендикулярно плоской фигуре, второй – параллельно (рис. 2.15). Рассмотрим нахождение натуральной величины плоской фигуры ∆АВС, занимающей горизонтально проецирующее положение (рис. 2.15, а).

а б

Рис. 2.15

Построение выполняют путем введения новой плоскости проекций П₄, перпендикулярной плоскости проекций П₁ и параллельной плоскости тре-

П¹ угольника АВС (рис. 2.15, б). Новую ось проекций _П4 проводят параллельно горизонтальной проекции треугольника А₁С₁В₁. Дальнейшие построения становятся ясны исходя из рис. 2.15, б. Проекция А₄С₄В₄ является натуральной величиной плоской фигуры.