2. Графическая работа 2 «величина плоской фигуры»

2.1. Теоретические основы построения чертежа

Начертательная геометрия изучает методы изображения элементов пространства на плоскости и графические способы решения пространственных задач на чертеже.

Основным методом начертательной геометрии является метод проецирования (метод проекций). Изучение метода проекций начинают с построения проекции точки, т.к. простой трехмерный объект определяется рядом точек, принадлежащих этому объекту.

Существуют следующие обозначения элементов пространства на чертеже:

точки пространства обозначаются прописными буквами латинского ал-

фавита или арабскими цифрами: А, В, С …, 1, 2, 3…; проекции точек (и других элементов) обозначаются теми же буквами с

добавлением подстрочных индексов: А₁, А₂, А₃ …, 1₁, 2₂, 3₃…; линии в пространстве именуются по точкам, определяющим линию

(или строчными буквами латинского алфавита a, b, c…); углы обозначаются α, β, γ…;

плоскости – прописными буквами греческого алфавита: Γ, Λ, Π, Σ, Φ, Ψ, Ω;

плоскости проекций обозначаются так: горизонтальная – П₁, фронтальная – П₂, профильная – П₃, дополнительные – П₄, П₅;

оси проекций – строчными буквами x, y, z

начало координат обозначается прописной буквой О;

проецирующие плоскости обозначаются так:

Σ₁ – горизонтально проецирующая,

Σ₂ – фронтально проецирующая,

Σ₃ – профильно проецирующая; при преобразовании чертежа проекции точек в новом положении о бозначаются А , В , С , 1, 2 …

Для обозначения геометрических операций используются следующие условные обозначения:

≡ – тождественность (совпадение), например А ≡ В;

∈ – принадлежность, например А ∈ b;

⊥ – перпендикулярность, например a ⊥b;

|| – параллельность, например a || b;

∩ – пересечение, например a∩ b;

= – результат операции, например a ∩ b = К;

→ – знак логического следствия, например a|| b → a₁|| b₁; a₂|| b₂.

2.1.1. Метод проекций

Отображение точки на чертеже получают методом проецирования.

Рассмотрим операцию проецирования (рис. 2.1).

Допустим, что имеется точка А и плоскость чертежа П′ (рис. 2.1, а).

а б

Рис. 2.1

Чтобы получить проекцию точки А на плоскость чертежа П′, нужно через точку А провести прямую i (в произвольном направлении) до пересечения ее с плоскостью чертежа П′. Пересечение прямой i с П′ и будет проекцией точки А – А′ (рис. 2.1, б). Чертежи, получаемые методом проецирования, называют проекционными. Плоскость чертежа П′ называют плоскостью проекций, прямую i называют проецирующей прямой (лучом).

Как же задается направление проецирования?

При проецировании ряда точек, определяющих трехмерный объект, могут иметь место следующие случаи (рис. 2.2):

а б в

Рис. 2.2

1. Проецирующие лучи i… i′′ исходят из одной точки S, называемой центром проекции. Такое проецирование называют центральным (рис.

2.2, а).

2. Если центр проекций S удален в бесконечность, то проецирующие лучи становятся параллельными. Такое проецирование называется параллельным. Направление проецирования задается произвольным углом наклона к плоскости проекций (рис. 2.2, б).

3. Проецирующие лучи i… i′′ параллельны и направлены перпендикулярно к плоскости проекций П′. Такое проецирование называют прямоугольным или ортогональным (частный случай параллельного проецирования, рис.

2.2, в).

Простота геометрических построений, сохранение на проекциях формы и размеров проецируемых объектов (при определенных условиях) обеспечили применение ортогонального проецирования при разработке чертежей.

Рассмотрим свойства ортогональных проекций, которые приводятся без доказательств.

1. Чтобы получить проекцию прямой АВ, необходимо найти проекции А′ и В′ двух точек А и В, принадлежащих этой прямой, и соединить полученные проекции (рис. 2.3).

2. Если точка К принадлежит прямой h, то ее проекция К′ принадлежит проекции прямой h′ (рис. 2.4).

3. Если прямая CD перпендикулярна плоскости проекций П′, то ее проекция есть точка C′ ≡ D′. В этом случае говорят о «вырожденной» проекции прямой, а прямую называют проецирующей (рис. 2.5).

Рис. 2.3 Рис. 2.4 Рис. 2.5

4. Если прямая h параллельна плоскости проекций П′, то она проецируется на эту плоскость в натуральную величину h′ и ее называют прямой уровня (рис. 2.4): h|| П′→ h = h′.

5. Проекции двух параллельных прямых параллельны между собой

(рис. 2.6): АВ|| CD → А′В′ || C′D′.

6. Положение любой плоскости в пространстве определяется тремя ее точками, не лежащими на одной прямой. Если плоскость Γ(∆АВС) параллельна плоскости проекций П′, то она проецируется на эту плоскость в натуральную величину. Эту плоскость называют плоскостью уровня (рис. 2.7): Γ(∆АВС)|| П′→Γ(∆АВС) = Γ′(∆А′В′С′ ).

7. Если плоскость Σ( АВDC) перпендикулярна плоскости проекций П′, то она проецируется на эту плоскость в виде прямой линии А′В′ ≡ (D′C′ ), которая есть результат пересечения двух плоскостей. В этом случае говорят о вырожденной проекции плоскости. Эту плоскость называют проецирующей.

Рис. 2.6 Рис. 2.7 Рис. 2.8

Рис. 2.9

8. Проекция отрезка АВ, расположенного под углом α к плоскости проекций П′, меньше самого отрезка (рис. 2.9): А′В′ = АВ соs α.