2.1.6. Пересечение плоскости с поверхностью
При пересечении поверхности (призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, сферы) плоскостью получают плоскую фигуру, которую называют сечением. Линия пересечения поверхности с плоскостью имеет вид плоской линии (ломаной или кривой), принадлежащей секущей плоскости и пересекаемой поверхности. Проекции этой плоской линии строят по отдельным точкам.
Сначала строят опорные точки, лежащие на контурных линиях поверхности, а также точки на ребрах и линиях основания поверхности. Если эти точки не определяют полностью проекции линии сечения, то строят промежуточные точки между опорными точками. Если секущая плоскость является проецирующей, то одна проекция линии сечения совпадает с вырожденной проекцией секущей плоскости и изображается отрезком прямой в пределах соответствующей проекции поверхности.
Пирамида пересекается плоскостью по плоскому многоугольнику (рис. 2.27), вершины которого принадлежат ребрам и сторонам основания пирамиды.
Пирамида SKLM пересечена плоскостью ∑, расположенной параллельно боковому ребру KS . Плоскость пересекает основание пирамиды ∆KLM и два боковых ребра LS и MS. Значит, в сечении получается четырехугольник ABCD, в котором стороны AB и CD параллельны между собой, т. к. они параллельны ребру KS.
Это необходимо учесть при построении проекций фигуры сечения. Так как боковое ребро SL параллельно плоскости П3, то горизонтальную проекцию точки В строим по ее глубине относительно вершины S. Видимость сторон четырехугольника на плоскостях проекций определяют видимостью граней пирамиды. Поскольку грань SLM на П3 не видна, то и сторона BC сечения тоже не видима. Грань SKM перпендикулярна плоскости П3, поэтому сторона CD сечения совпадает с вырожденной в прямую проекцией грани.
Рис. 2.27 Натуральная величина фигуры сечения построена на поле П4, расположенном параллельно секущей плоскости ∑ (на чертеже ось проекций П2/П4 расположена параллельно ∑2). Проекции точек на поле П4 построены на новых линиях связи, перпендикулярных новой оси проекций П2/П4,с помощью глубин точек фигуры сечения, измеренных на поле П1 от оси проекции П2/П 1.
Призма так же, как и пирамида, пересекается плоскостью по плоскому многоугольнику. Поверхность призмы является проецирующей, значит одна проекция фигуры сечения совпадает с «вырожденной» проекцией боковой по верхности призмы (рис. 2.28). Следовательно, строим только третью проекцию фигуры сечения и ее натуральную величину.
На рис. 2.28 прямая треугольная призма имеет горизонтально проецирующую поверхность, изображаемую на П1 треугольником 11–21–31. Секущая плоскость ∑ пересекает верхнее основание призмы и два боковых ребра, т.е. в сечении получается четырехугольник ABCD, горизонтальные проекции сторон ВC, CD и DA которого совпадают с ∆11–21–31. Так как на поле П3 не видна правая грань призмы, то и линия CD сечения ее тоже будет не видима.
Рис. 2.28
Натуральную величину сечения строим по двум направлениям: вдоль и поперек сечения. По горизонтальной линии откладываем расстояния между точками вдоль сечения, истинные размеры которых берем с поля П2 по вырожденной проекции сечения плоскости (∑2). По направлениям, перпендикулярным горизонтальной линии, откладываем расстояния поперек сечения. Они соответствуют глубинам точек на поле П1 или П3. На рис. 2.28 они измерены на П1 относительно точки D1.
Сфера пересекается плоскостью по окружности. Диаметр окружности определяется отрезком d, совпадающим с вырожденной проекцией секущей плоскости внутри очерка сферы (рис. 2.29). Две другие проекции окружности сечения имеют форму эллипсов, для построения которых следует определить размеры их осей.
Большая ось эллипсов равна диаметру d окружности сечения, а величина малой оси зависит от угла наклона секущей плоскости к плоскости проекций. Плоскость ∑ (∑2) – фронтально проецирующая. Она пересекает сферу по окружности с центром в точке О (О2) диаметром d = А2 В2, где А – наивыс-
шая, а В – наинизшая точка линии сечения. Эти точки лежат на главном мери диане f сферы.
Рис. 2.29
Горизонтальные А1 и В1 и профильные А3 и В3 проекции точек сечения строим по линиям связи на горизонтальной f1 и профильной f3 проекциях главного меридиана сферы. Окружность сечения на П1 и П3 изображаем эллипсом, размер малых осей которого определяем проекциями А1В1 и А3В3 диаметра АВ.
Диаметр СD, перпендикулярный диаметру АВ, проецируется в точку на П2 (C2 ≡ D2) и без искажения на П1 и П3 (C1D1 = d и C3D3 = d), т.к. является фронтально проецирующим (CD⊥П2) и определяет большую ось эллипсов. Окружность сечения частично не видима на П1 и на П3. Точки видимости на
П1 определяем в пересечении экватора h с плоскостью ∑ (точки Е и F); Е1 и F1
€ h1; Е3 и F3 € h3.
Точки Е3 и F3 строим по их глубинам, измеренным на П1. Точки видимости на П3 определяем в пересечении профильного меридиана с секущей плоскостью (точки К и L). Сначала строим профильные проекции К3 и L3 этих точек, а затем по их глубинам, измеренным на П3, строим горизонтальные К1 и L1 проекции.
Опорные точки строим все. На рис. 2.29 построена пара промежуточ ных точек M и N, уточняющих форму горизонтальной и профильной проекций окружности сечения. Недостающие проекции точек строим с помощью вспомогательной параллели – окружности радиуса R из условия принадлежности этих точек секущей плоскости (М2 ≡ N2) и поверхности сферы. М1 (N1) строим по вертикальной линии связи на дуге окружности радиуса R, а М3(N3) – по горизонтальной линии связи с помощью глубин точек, измеренных на горизонтальной плоскости проекций.
Истинный размер сечения получаем на поле П4, расположенном параллельно секущей плоскости ∑, как окружность диаметра d с центром в точке О4. Затем в проекционной связи на этой окружности отмечаем проекции всех точек, с помощью которых строим горизонтальную и профильную проекции сечения.
Цилиндр вращения (рис. 2.30) пересекается плоскостью (Σ2) в общем случае по эллипсу. Если же секущая плоскость параллельна (ψ2) или перпендикулярна (Г2) оси цилиндра, то в сечении получаются, соответственно, пара параллельных прямых или окружность (рис. 2.30, а). Если поверхность цилиндра является проецирующей, то одна проекция линии сечения совпадает с «вырожденной» в окружность проекцией поверхности.
Размеры осей эллипса сечения определяются диаметром цилиндра (малая ось эллипса равна диаметру цилиндра) и положением секущей плоскости (большая ось эллипса равна отрезку вырожденной проекции секущей плоскости в пределах очерка цилиндра). Центр эллипса сечения находим в точке пересечения оси цилиндра с секущей плоскостью.
На рис. 2.30, б, в построены проекции линии пересечения и натуральная величина фигуры сечения цилиндра, имеющего фронтально проецирующую поверхность. Секущая плоскость задана горизонтально проецирующей и пересекающей заднее основание цилиндра по линии ВС. Сечение представляет собой неполный эллипс с малой осью DE и большой полуосью, размер которой определяется на П1 отрезком А1Е1.
Фронтальную проекцию сечения располагаем по дуге окружности влево от линии В2С2. Самой верхней точкой сечения будет точка Е, самой нижней – точка D. Эти же точки будут границей видимости линии сечения на поле П3, как расположенные на очерковых образующих цилиндра. Промежуточные точки 1, 2, 3 и 4 уточняют характер профильной проекции эллипса. Их профильные проекции строим с помощью глубин точек, измеренных на П1 от дальнего основания цилиндра.
Натуральную величину сечения строим по двум направлениям: расстоянию между точками вдоль сечения, измеренному на П1, и поперек сечения, измеренному на П2 (рис. 2.30, в).
Конус вращения пересекается плоскостью (рис. 2.31) в зависимости от ее расположения относительно поверхности по окружности, эллипсу, параболе, гиперболе или двум образующим (рис. 2.31, а). Наибольшие затруднения возникают при построении на конусе проекций кривых эллипса (или его части), параболы и гиперболы.
Проекции точек, определяющих проекции кривых на конусе, строим с помощью образующих или с помощью параллелей. На рис. 2.31, б построены проекции сечения конуса фронтально проецирующей плоскостью Σ(Σ2). В се-
чении получаем часть эллипса, большая ось которого равна отрезку А2F2, а малая MN делит его пополам. Эллипс обрезан линией BC, по которой секущая плоскость пересекает основание конуса. На горизонтальной проекции кривая сечения видна полностью, а на профильной только ее верхняя часть.
Границей видимости для поля П3 служит профильный меридиан конуса, который пересекается плоскостью ∑ в точках D и Е. Проекции точек А, В, С, D и Е построены из условия принадлежности их очерковым линиям поверхности конуса. Размер малой оси эллипса сечения, а следовательно, горизонтальные M1 (N1) и профильные M3(N3) проекции точек определяем из условия принадлежности их параллели радиуса R1 на поверхности конуса.
Промежуточные точки K и L уточняют проекции верхней части эллипса. Их проекции на П1 строим с помощью параллели радиуса R2. На рис. 2.31, б также показано построение проекций этих точек с помощью образующих S – 1 и S – 2.
Натуральную величину плоской фигуры сечения строим по расстояниям а…d между точками вдоль сечения и расстояниям, отмеченным черточками на П1 или П3, поперек сечения (рис. 2.31, в).