2.5. Критерий - угловое преобразование Фишера

Назначение критерия

Критерий Фишера предназначен для сопоставления двух рядов выборочных значений по частоте встречаемости какого-либо признака. Этот критерий можно применять для оценки различий в любых двух выборках зависимых или независимых. С его помощью можно сравнивать показатели одной и той же выборки, измеренные в разных условиях.

Описание критерия

Критерий оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий нас эффект.

Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах. Большей процентной доле будет соответствовать больший угол , а меньшей доле – меньший угол, но соотношения здесь не линейные: , где - процентная доля, выраженная в долях единицы.

При увеличении расхождения между углами , и увеличения численности выборок значение критерия возрастет. Чем больше величина , тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы

: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2.

: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 больше, чем в выборке 2.

Для применения критерия Фишера необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в любой шкале.

2. Характеристики выборок могут быть любыми.

3. Нижняя граница — в одной из выборок может быть только 2 наблюдения, при этом во второй должно быть не менее 30 наблюдений. Верхняя граница не определена.

4. Нижние границы двух выборок должны содержать не меньше 5 элементов (наблюдений) в каждой.

2.5.1. Сравнение двух выборок по качественно определенному признаку

Задача 8.14. Психолог провел эксперимент, в котором выяснилось, что из 23 учащихся математической спецшколы 15 справились с заданием, а из 28 обычной школы с тем же заданием справились 11 человек. Можно ли считать, что различия в успешности решения заданий учащимися спецшколы и обычной школы достоверны?

Решение. Для решения этой задачи с помощью критерия Фишера показатели успешности выполнения заданий необходимо перевести в проценты. В процентах это составит:

По таблице 14 Приложения 1 находим величины и соответствующие процентным долям в каждой группе. Так для 65,2% согласно таблице соответствующая величина =1,880, а для 39,3% величина = 1,355.

Эмпирическое значение подсчитывается по формуле:

Где - величина, взятая из таблицы 14 Приложения 1, соответствующая большей процентной доле;

- величина, взятая из таблицы 14 Приложения 1, соответствующая меньшей процентной доле;

п₁ —количество наблюдений в выборке 1;

п₂ — количество наблюдений в выборке 2.

В нашем случае

По таблице 15 Приложения 1 определяем, какому уровню значимости соответствует

= 1,86.

С таблицей 15 Приложения 1 работают следующим образом: находят внутри ее число равное вычисленному , и смотрят, между какими уровнями значимости (с учетом тысячной доли) оно нахо­дится. Следовательно, уровень значимости = 1,86 равен 0,03 + 0,001 = 0,031.

Следует подчеркнуть, однако, что поскольку критические значения для 5% и 1% уровней значимости имеют фиксирован­ную величину и составляют соответственно для 5% = 1,64, а для 1% = 2,28, то таблица 15 Приложения 1 практически не нужна, так как вышеозначенными величинами критических уровней можно пользоваться всегда. В привычной форме записи, это выглядит так:

Поскольку мы попали в зону неопределенности, то в терми­нах статистических гипотез в данном примере можно принять гипотезу Н₁ на 5% уровне значимости и отклонить ее на 1% уровне значимости. Иными словами, на 5% уровне значимости можно говорить о различии между успешностью в решении заданий учениками сравниваемых школ, а на уровне в 1% — этого утверждать нельзя.