Тема 6. Нормальное распределение, характеристика, графическая проверка.

Нормальное (гауссово, симметричное, колоколообразное) распределение - распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

где параметр μ — математическое ожидание (среднее значение),медиана и мода распределения, а параметр σ —среднеквадратическое отклонение (σ ² — дисперсия) распределения.

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1.

Встречается в природе наиболее часто, за что и получило название «нормального». Характеризует распределение непрерывных случайных величин.

х - значения случайной величины;

р - вероятность появления данного значения в совокупности. (Рисунок 2,3)

Рисунок 2. График нормального распределения

Рисунок 3. График нормального распределения

Значение

Важное значение нормального распределения во многих областях науки (например, в математической статистике и статистической физике) вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному. Этот закон теории вероятностей имеет следствием широкое распространение нормального распределения, что и стало одной из причин его наименования.

Нормальное распределение в природе и приложениях

Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:

• отклонение при стрельбе.

• погрешности измерений (однако погрешности некоторых измерительных приборов имеют не нормальные распределения).

• некоторые характеристики живых организмов в популяции.

Характеристика нормального распеределения

• Полностью определяется двумя параметрами средней (µ) и дисперсией (σ2)

• Колоколообразная (унимодальная)

• Симметричная относительно среднего

• Сдвигается вправо, если средняя увеличивается, и влево если средняя уменьшается (при постоянной дисперсии)

• Сплющивается, если дисперсия увеличивается, но становится более остроконечной, если дисперсия уменьшается (для постоянного среднего)

Дополнительные свойства

• Среде и медиана нормального распеределения равны

• Вероятность того, что нормально распределенная случайная переменная х со средним µ , и стандартным отклонением σ, находятся между

(µ - σ) и (µ + σ) равна 0,68

(µ - 1,96 σ) и (µ + 1,96 σ) равна 0,95

(µ - 2,58 σ) и (µ + 2,58 σ) равна 0,99

Отклонение параметра от его средней арифметической в пределах σ

расценивается как норма, субнормальным считается отклонение в пределах ± 2σ и патологическим - сверх этого предела, т.е. > ± 2σ"

Рисунок 4. Разделение на квантили

Рисунок 5. Правило «трех сигм» (SD - стандартное отклонение)