Закон больших чисел

Одним из основных положений теории вероятностей является Закон больших чисел, выраженный в ряде теорем, важнейшая из которых была доказана в середине XIX века российским математиком П.Л.Чебышевым. Закон больших чисел гласит, что совместное действие большой совокупности случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к среднему результату, почти не зависящему от случая. Иными словами, в случае достаточно большой выборки (например, очень большого числа подбрасываний монеты) возможно значительное количество маловероятных совпадений (количество выпадений орлов и решек будет одинаково).

Ошибка игрока в казино

Суть ошибки игрока в казино – неправильное представление о справедливости закона больших чисел. Игроку кажется, что равнозначность сторон монеты дает ему право ожидать, что любое отклонение в одном направлении будет скоро скомпенсировано соответствующим отклонением в другую сторону. Действительно, некоторые распространенные процессы в природе подчиняются таким законам: отклонение от устойчивого равновесия порождает силу, которая восстанавливает равновесие. Законы вероятности, напротив, не работают подобным образом: отклонения не отменяются по мере перебора элементов выборки. Многие же люди считают, что процессы в выборке – это самокорректирующиеся процессы.

Рассмотрим человека, чьи субъективные вероятности для всех возможных результатов подбрасывания монеты отражают ошибку игрока в казино. Этот человек будет уверен в том, что вероятность появления решки при каждом конкретном подбрасывании увеличивается с числом последовательно выпавших орлов, которые предшествовали этому подбрасыванию Суждения такого человека могут быть внутренне, или субъективно, последовательными и поэтому приемлемыми как адекватные субъективные вероятности. Однако эти вероятности не будут совместимы с тем фактом, что у монеты нет памяти, и поэтому монета не способна производить последовательные зависимости в соответствии с законом больших чисел.

Исследования восприятия случайных событий показывают, что, когда людей просят смоделировать случайный процесс, такой же, как серии подбрасываний монеты, они создают последовательности, которые репрезентативны закону больших чисел локально, то есть на коротком отрезке. Ошибка игрока в казино является проявлением убежденности в локальной репрезентативности: если соотношение двух результатов сохраняются на коротких отрезках, то за длинной последовательностью одного результата для восстановления равновесия должен идти другой результат.

Американский математик Уильям Феллер в одной из своих книг по теории вероятностей описывает пример, который иллюстрирует ошибочную веру в локальную репрезентативность. Во время интенсивной бомбежки Лондона во вторую Мировую войну, считалось, что выбор целей бомбежки не может быть случайным, потому что некоторые районы города были поражены несколько раз, в то время как на многие другие районы бомбы не падали совсем. Таким образом, рисунок попаданий бомб нарушил закон локальной репрезентативности, а гипотеза случайности попаданий казалась недопустимой. Чтобы проверить эту гипотезу, всю территорию Лондона разделили на маленькие области равной площади. Фактическое распределение попаданий бомб на этих участках сравнили с ожидаемым распределением согласно предположению о том, что бомбежки велись по случайному принципу. Вопреки ожиданиям, было получено очень сильное соответствие между распределениями. По мнению У.Феллера, для нетренированного глаза случайность кажется упорядоченностью или тенденцией к группировке.

Впоследствии был даже введен термин – «заблуждение стрелка», обозначающий иллюзии скопления. Этот термин возник благодаря истории о некоем техасце, который от нечего делать начал не целясь палить по задней стенке своего амбара. В результате этого развлечения следы от пуль случайным образом образовали округлую фигуру, в которой стрелявший узрел глаз быка.

Так, в эпидемиологии, когда фиксируют отдельные случаи какого-либо заболевания, зачастую создается иллюзия многочисленности заболевших, проживающих в географически компактном участке, что приводит к поиску причинной связи между заболеванием и местным окружением. Таким образом, случайные взаимосвязи рассматриваются как статистически значимые.