Тема 2. Взаимное положение точки, прямой линии и плоскости, двух плоскостей

З адача 13.

Цель задания: научиться строить горизонталь и фронталь.

Решение: В задаче «а» горизонталь проходит через точку В2 параллельно оси ОХ. Точку пересечения горизонтали с прямой │С2D2│ обозначим цифрой 12. Спроецируем точку 12 на прямую │С1D1│, обозначим точку - 11. Соединим В1 и 11 получим горизонтальную проекцию

│В2-12│горизонтали. Фронталь строится аналогично (выполнить другим цветом), построение начиная с точки В1.

Для решения варианта «б» начертим горизонталь, проходящую через точку В2. Проекцию ее на плоскость П1 сразу начертить невозможно. Сначала проведем дополнительную горизонталь через А2 ΔА2С2В2. Обозначим точки пересечения горизонтали со сторонами треугольника 12 и 22. Опустим линии связи из этих точек на соответствующие стороны ΔА1В1С1. Обозначим точки 11 и 21 и соединим их вспомогательной прямой. Получили горизонтальное изображение горизонтали. Проводим параллельно этому изображению линию, но проходящую через точку В1. Это и есть искомая горизонталь. Фронталь строится аналогично.

З адача 14.

Решение: На рисунке «а» проводим прямую │h│на высоте 15 мм. от оси ОХ, получаем точку пересечения прямой │h│ с прямой │В2С2│ - в точке 12. Спроецируем эту точку на │В1С1│, получим точку 11. Через точку А2 проводим произвольную прямую │а2│, получим точку пересечения с прямой │В2С2│ - 22. Находим проекцию точки 21 используя линию связи. Через 21 и А1 проводим вспомогательную прямую │а1│. Через 11 проводим прямую параллельную │а1│. Это - горизонтальная проекция горизонтали, находящаяся на расстоянии 15 мм., от оси ОХ. Задача «б» строится аналогично.

Задача 15.

Р ешение:

Проводим через точку D1 произвольную прямую│а1│, там где она пересекает стороны ΔА1В1С1 поставим точки 11-21. Находим фронтальные проекции точек 12-22. Построим через них прямую │а2│. На прямую │12-22│ спроецируем точку D1. Это и будет искомая точка D2.

Задача 16.

Решение:

Построим прямую, отстоящую от плоскости П2 на 15мм. - горизонталь. Построим прямую, отстоящую от П1 на 20мм. - фронталь. Там, где пересекутся соответствующие проекции фронтали и горизонтали, будут находиться проекции точки К. Построим её проекции.

Задача 17.

Решение:

Через точку А2 проводим произвольную прямую │а2│ пересекающую │М2N2│ и │К2L2│ в точках 12-22. Построим по линиям связи горизонтальные проекции этих точек. Проводим через точки 11 и 21 прямую │а1│. В случае если А1 лежит на этой прямой, значит, точка А принадлежит плоскости, если точка А1 не лежит на прямой │11-21│, то точка А не принадлежит данной плоскости.

Задача 18.

Решение:

Проводим прямую, пересекающую фронтальные проекции заданных прямых. Получим точки пересечения - 12, 22, 32. Находим их горизонтальные проекции, проводим прямую │а1│ через 11, 21, 31. Если все точки 11, 21, 31, лежат на одной прямой, то прямые принадлежат одной плоскости.

Задача 19.

Решение:

Для поиска недостающих точек нужно найти «привязку» к существующим точкам. Надо найти точки Е2, D2. Проводим диагонали │В1Е1│ и │А1С1│. Находим точку их пересечения 11. Соединим │А2С2│ и найдем по линии связи точку 12. Теперь можно построить точку Е2. Она находится на продолжение прямой │В2,12│. Точно также можно найти точку D2.

Задача 20.

Решение:

Обозначим точки пересечения Δ К1М1N1 и прямых │А1В1│ и │С1D1│- 11,21,31,41. Причем, точки 11 и 31 ∈ прямой │К1N1│, точка 21∈ прямой │К1М1│, точка 41 ∈ прямой │N1М1│. Восстановим проекции этих точек 12,22,32,42 на соответствующие прямые. Далее проводим линии связи из вершин треугольника К1 и N1 на продолжение прямой │12-32│. Точку М2 построим на продолжении прямой │К2-22│. Соединяем точки М2 и N2. Треугольник построен.

Задача 21

Достроить горизонтальную проекцию отрезка АВ, параллельного плоскости треугольника CDE/

Р ешение:

На плоскости ΔС2D2Е2 проведем прямую │а2│ параллельную прямой │А2В2│. Обозначим на прямой │а2│ точки пересечения с треугольником цифрами 12, 22. Опустим точки по линиям связи на ΔА1В1С1 на одноименные прямые и построим прямую │а1│. Параллельно этой прямой │а1│ проводим через точку А1 искомую прямую заранее опустив линии связи из точки В2. Прямая │А1В1│ параллельная плоскости ΔАВС построена.

Задача 22.

Проверить параллельность двух плоскостей.

Р ешение:

На фронтальной проекции ΔА2В2С2 проводим две параллельные между собой прямые и параллельные ранее заданным │D2Е2│ и │F2G2│. Обозначим точки пересечения этих линий с плоскостью ΔА2В2С2- 12,22,32,42. Соединим точки 12 и 22 получив прямую подобную │D2Е2│. Построенную аналогичным способом прямую, на точках 32,42 обозначим │F2G2│. Находим проекции точек на горизонтальную проекцию ΔА1В1С1 обозначив их 11,21,31,41. Соединим прямые │D1E1│ и │F1G1│. Эти прямые – и есть плоскость, параллельность которой к плоскости ΔАВС нужно было проверить.

Задача 23.

Ц ель задания: научиться находить точки на фронтальных и горизонтальных проекциях, а также определять видимость линий и плоскостей с учетом положения конкурирующих точек.

Решение: Через прямую │М2N2│ проводим фронтально проецирующую плоскость α⊥∏2. Обозначим точки 12 на стороне А2В2 и 22 на стороне │D2С2│. Находим на горизонтальных проекциях │А1В1│ и │D1C1│ проекции 11 и 21. Соединим найденные точки прямой │11-21│. Точка пересечения прямой │11-21│ и │М1N1│ и будет искомая точка К1. Спроецировав ее на │М2N2│, получим фронтальную проекцию К2. Видимость прямой определим по анализу конкурирующих точек 1 и 2. Анализ показывает, что левая часть прямой │М1N1│ (после точки К1) проходит под плоскостью АВСD, а правая над ней.

Задача 24.

Р ешение:

Задача решается аналогично задаче 23. Найти две точки пересечения прямой М с плоскостью ΔАВС и две точки пересечения прямой N с плоскостью ΔАВС. Вычертить прямую линию пересекающую треугольник.

Задача 25.

Р ешение реализуем, используя две профильнопроецирующие плоскости α и β, которые проводим через фронтальные проекции сторон ΔDЕF │D2Е2│ и │D2F2│. В результате пересечения плоскостью α сторон В2С2 и А2С2 ΔАВС появляются две точки на этих сторонах 12 и 22. Находим их горизонтальные проекции 11 и 21. Проводим через них линию (горизонтальный след плоскости α) до пересечения с горизонтальной проекцией F1Е1. Возникает новая точка М1. Восстанавливаем ее фронтальную проекцию М2. Фронтальнопроецирующую плоскость β проводим через сторону D2Е2 и получаем точки 32 и 42 на прямых В2С2 и А2С2. Находим их горизонтальные проекции на горизонтальных проекциях В1С1 и А1С1. Через точки 41 и 31 проводим линию – горизонтальную проекцию плоскости β. Она пересекает D1Е1 в точке N1. Строим по линии связи N2. Точки М и N позволяют построить линию пересечения плоскостей треугольников. Видимость определяем по конкурирующим точкам. Видимость плоскостей изображаем на рисунке штриховкой или цветным карандашом.