Практическая часть

Задание 1. Решить систему методом Гаусса, предварительно исследовать совместность.

Вариант 1 Ответ (1; 2; 1; 2)	Вариант 2 Ответ (2; -1; 1; 1)
Вариант 3 Ответ (1; 2; 3; 1)	Вариант 4 Ответ (1; -1; 2; 2)
Вариант 5 Ответ (3; 1; 1; -1)	Вариант 6 Ответ (1; -1; 2; 4)
Вариант 7 Ответ (2; 1; 1; 3)	Вариант 8 Ответ (1; -1; 2; -2)
Вариант 9 Ответ (2; 3; 1; 1)	Вариант 10 Ответ (-1; 3; 2; 1)
Вариант 11 Ответ (-1; 1; 2; 2)	Вариант 12 Ответ (4; -1; 1; 2)
Вариант 13 Ответ (2; 2; -1; 1)	Вариант 14 Ответ (3; 4; -1; 1)
Вариант 15 Ответ (1; 1; 1; 1)	Вариант 16 Ответ (-1; 2; 3; -1)

Задание 2. Решить систему из задания 1 методом Зейделя, предварительно приведя ее к специальному виду.

Вопросы к защите лабораторной работы №3 «Решение систем линейных алгебраических уравнений»

1. Метод Гаусса (схема единственного деления): описание метода, трудоемкость метода.

2. Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора): описание метода, его вычислительная устойчивость.

3. Метод простой итерации (Якоби) для решения систем линейных алгебраических уравнений. Сходимость, оценки погрешности, критерий окончания итераций.

4. Метод Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений. Сходимость, оценки погрешности, критерий окончания итераций. Геометрическая иллюстрация. Алгоритм приведения к виду, обеспечивающему сходимость итерационного процесса.

5. Как привести систему к виду, удобному для итераций по методу простой итерации и определить число итераций, требуемых для достижения точности .

Лабораторная работа № 4 Приближение функций. Численное дифференцирование Теоретическая часть

Интерполяционный многочлен Лагранжа. Пусть на отрезке [a,b] некоторая функция f(x) задана лишь в некоторых точках , т.е. известны ее значения , которые собирают в таблицу:

x	x0	x1	...	xn
f(x)	y0	y1	...	yn

Кроме того, пусть задана некоторая точка c [a,b].

Построим по таблице многочлен Лагранжа:

. (20)

Если функция f(x) задана своей таблицей и требуется найти значение f(x) где-то в промежуточной точке c, то можно по формуле (20) построить многочлен Лагранжа и его значение в этой точке принять за значение функции

Алгоритм интерполирования по формуле Лагранжа

Задача. Имеется таблица значений некоторой функции:

x	f(x)	x	f(x)
0,41	2,63	2,67	4,87
1,55	3,75	3,84	5,03

Требуется получить значение этой функции в точке X=1,91.

Решение осуществляем с учетом формулы (20):

Результат:

f (1,91) ≈4,15

Метод наименьших квадратов. Применяется при обработке экспериментально полученных зависимостей, когда есть ряд значений параметра (х_i) и соответствующий ему ряд значений неизвестной функции (y_i). Лучшим аналитическим представлением этой зависимости будет функция φ(х), выбранная таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений y_i от φ(х), была минимальной, т. е.

Пусть дан ряд значений независимого аргумента Х (диапазон А1:А15) и соответствующих ему значений зависимого аргумента Y (функции) в диапазоне В1:В15.

	А	В	С	D	E	F
1	Xi	Yi	Xi	Yi	m	n
2	1	0,5	8	23,00
3	2	3,3	9	17,00
4	3	1,98	10	19,9
5	4	13	11	22,00
6	5	4,0	13	27,0
7	6	11,09	13	30,0
8	7	12,75	15	27,76
			15	35

(Результат: m=2,304393, n=-1,68314, a=1,208189; b=2,51309)

m=2,357964 n=-2,31171 a=1,264018 b=1,659488

Задача: Для заданного набора пар данных независимой переменной Х_i и функции Y_i определить наилучшее линейное приближение в виде прямой с уравнением y=mx+n и показательное приближение в виде линии с уравнением y=ba^х.

Решение:

1. Ячейка Е1 – текущая. Левой кнопкой мыши изменить формулу в строке формул (щелкнуть по кнопке с символом «=»). Раскрыть список в левом краю строки формул и выбрать Другие функции.

2. В окне Мастера функции (МФ) выбрать категорию Ссылки и массивы, и функцию ИНДЕКС, ОК. В новом диалоговом окне выбрать первый вариант набора параметров, ОК (массив, номер строки, номер столбца).

3. Установить текстовый курсор в первое поле для ввода параметров (массив) и снова выбрать Другие функции в раскрывшемся списке в строке формул.

4. С помощью МФ выбрать функцию ЛИНЕЙН категории СТАТИСТИЧЕСКИЕ, ОК.

5. В качестве первого параметра функции ЛИНЕЙН (изв_знач_у) выбрать диапазон, содержащий значения функции(столбец В).

6. В качестве второго параметра функции ЛИНЕЙН (изв_знач_х) выбрать диапазон, содержащий значения независимой переменной (столбец А), ОК. На появившемся сообщении – ОК.

7. Поместить текстовый курсор в строке формул между двумя закрывающимися скобками и нажать «;1». Это третий недостающий параметр функции ИНДЕКС. Единица указывает на необходимость возвращения первого коэффициента линейной зависимости, т.е. m. ЛКМ на ОК на палитре формул.

Функция ЛИНЕЙН возвращает коэффициенты уравнения прямой в виде массива из двух элементов. С помощью функции ИНДЕКС выбирается нужный элемент.

8. F1 – текущая ячейка. Повторить операции пп.1-7, чтобы в итоге в этой ячейке появилась формула

=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(В1:В15;А1:А15);2).

Эту формулу можно ввести и вручную.

Теперь в ячейке F1 – второй коэффициент наилучшей прямой, т.е. n.

9. Найдем коэффициенты показательного приближения

Ячейка G1 – текущая. Повторим операции пп.1-7, но аргументом функции ИНДЕКС выбираем функцию ЛГРФПРИБЛ. Теперь в ячейке G1 содержится первый коэффициент наилучшего показательного приближения, т.е. а. Действуя аналогично, указав третьим параметром функции ИНДЕКС цифру 2, в ячейке Н1 получим второй коэффициент наилучшего показательного распределения, т.е. b.

Для интерполяции или экстраполяции оптимальной кривой без явного определения ее параметров можно использовать функцию ТЕНДЕНЦИЯ для линейной зависимости и РОСТ для показательной зависимости.

Для построения наилучшей кривой другим способом – Сервис – Анализ данных.

10. В списке Инструменты анализа – пункт Регрессия. ЛКМ на ОК.

11. В поле Выходной интервал Y методом протягивания указать диапазон, содержащий значения функции (столбец В).

12. В поле Входной интервал Х указать столбец А.

13. Установить переключатель НовыйРЛ, имя – Результат.

Открыть Расчетный лист Результаты расчета и убедиться, что вычисленные коэффициенты совпали с полученными первым методом.