Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мордовский государственный педагогический

институт имени М.Е.Евсевьева»

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

Саранск 2010

Рецензенты: Рыбина Т.М., кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики МГПИ им. М.Е.Евсевьева;

Куплинов В.Н., кандидат технических наук, доцент кафедры физики МГПИ им. М.Е.Евсевьева.

Рекомендовано для использования УМК физико-математического факультета МГПИ им.М.Е.Евсевьева.

Протокол № 8 от 18.03.2009 года

Составитель: Кормилицына Т.В. – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и ВТ МГПИ им. М.Е.Евсевьева.

Численные методы: методические рекомендации к лабораторным работам / Составитель: Т.В. Кормилицына / Мордов. гос.пед.ин-т. – Саранск, 2009. – 40 с.

Методические рекомендации предназначены для проведения лабораторного практикума по дисциплине «Численные методы» для студентов физико-математического факультета. В тексте содержится теоретический материал, необходимый для выполнения каждой лабораторный работы, алгоритмы решения в табличном процессоре Excel и программы на языке TMTPascal, которые каждый студент может легко адаптировать для выполнения индивидуального задания. Приведены образцы решения наиболее важных задач численного анализа.

Практическая часть содержит задания для самостоятельной работы. Приведены вопросы для подготовки к защите лабораторных работ.

© ГОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт

им. М.Е. Евсевьева», 2009

© Кормилицына Т.В., 2010

Содержание

Лабораторная работа № 1. Теория погрешностей и машинная арифметика……………………………………………………………….............................	4
Лабораторная работа № 2. Методы решения нелинейных уравнений………………………………………………………………………………...	7
Лабораторная работа № 3. Методы решения систем линейных уравнений……………………………….………………………………………….…….	14
Лабораторная работа № 4. Приближение функций. Численное дифференцирование……………………………………….………………………..............	23
Лабораторная работа № 5. Численное интегрирование……….………........	28
Лабораторная работа № 6. Численное решение задачи Коши………..…….	36
Список литературы..............................................................................................	43

Лабораторная работа № 1 Теория погрешностей и машинная арифметика Теоретическая часть

Пусть х – некоторое число, число а называется его приближенным значением, если а в определенном смысле мало отличается от х и заменяет х в вычислениях, .

Погрешностью приближенного значения а числа х называется разность , а модуль этой погрешностью называется абсолютной погрешностью.

Если , то а взято с недостатком. Если , то а взято с избытком.

Границей погрешности приближенного значения а числа х называется всякое неотрицательное число , которое не меньше модуля погрешности: .

Говорят, что приближение а приближает число х с точностью до , если , , .

Пример. Пусть а=0,273 – приближенное значение х с точность до 0,001. Указать границы, в которых заключается х.

При округлении чисел считают, что границы погрешности округления равна половине единицы округляемого разряда:

, α – порядок округления разряда.

Относительной погрешностью приближенного значения а числа х называется отношение

.

Пример. Округлить до десятых число 27,52 и найти погрешность и относительную погрешность округления:

,

,

.

Также как и абсолютная погрешность, относительная погрешность не всегда может быть вычислена и приходится оценивать ее модуль. Модуль относительной погрешности выражается в процентах. Чем меньше модуль относительной погрешности, тем выше качество приближения.

Пусть .

Цифра приближенного значения а называется верной, если модуль его погрешности не превосходит половины единицы этого разряда.

.

Очевидно, что все цифры, стоящие слева от верной цифры – верные.

Пример. Пусть х=27,421, а=27,381, .

Выясним, какие цифры верные в приближении а?

4 – , следовательно, 4 – неверная;

8 – , следовательно, 8 – неверная;

3 – , следовательно, 3 – верная.

3,2,7 – верные цифры.

Пример. Если известно, что относительная погрешность приближения , то это приближение имеет ровно 3 верные значащие цифры.

, следовательно, приближение имеет не менее 3-х верных значащих цифр.