Матрица коэффициентов парной корреляции

Коэффициенты парной корреляции, используются для измере­ния силы линейных связей различных пар признаков из их множе­ства. Для множества признаков получают матрицу коэффициентов парной корреляции.

Пусть вся совокупность данных состоит из переменной Y= (у , у , ..., у ) и m переменных (факторов) X, каждая из которых содержит п наблюдений. Значения переменных Y и X, содержа­щиеся в наблюдаемой совокупности, записываются в нижеприведенную таблицу.

Номер наблюдения	Y	X1	X2	….	Xm
1	Y1	X11	X21	….	Xm1
….	…	….	….	….	….
n	Yn	X1n	X2n	….	Xmn

На основании данных, содержащихся в этой таблице, вычисля­ют матрицу коэффициентов парной корреляции R, она симмет­рична относительно главной диагонали:

(3.20).

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции исполь­зуют при построении моделей множественной регрессии. Одной корреляционной матрицей нельзя полностью описать зависимости между величинами. В связи с этим в многомерном корреляционном анализе рассматривается две задачи:

1. Определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ.

2. Определение тесноты связи между двумя величинами при фиксировании или исключении влияния остальных величин.

Эти задачи решаются соответственно с помощью коэффициен­тов множественной и частной корреляции.

Множественный коэффициент корреляции

Решение первой задачи (определение тесноты связи одной слу­чайной величины с совокупностью остальных величин, включен­ных в анализ) осуществляется с помощью выборочного коэффици­ента множественной корреляции по формуле

(3.21),

где |R| - определитель корреляционной матрицы R (3.20); - алгебраическое дополнение элемента той же мат­рицы R.

Квадрат коэффициента множественной корреляции принято называть выборочным множественным коэффициентом детерминации; он показывает, какую долю вариа­ции (случайного разброса) исследуемой величины X объясняет вариация остальных случайных величин Х₁, Х₂,..., Х_m.

Коэффициенты множественной корреляции и детерминации являются величинами положительными, принимающими значения в интервале от 0 до 1. При приближении коэффициента R² к единице можно сделать вывод о тесноте взаимосвязи случай­ных величин, но не о ее направлении. Коэффициент множествен­ной корреляции может только увеличиваться, если в модель вклю­чать дополнительные переменные, и не увеличится, если исклю­чать какие-либо из имеющихся признаков.

Проверка значимости коэффициента детерминации осуществля­ется путем сравнения расчетного значения F-критерия Фишера (см. уравнение 3.9) с табличным F_табл. Коэффициент значимо отличается от нуля, если выполняется неравенство .

Частный коэффициент корреляции

Если рассматриваемые случайные величины коррелируют друг с другом, то на величине коэффициента парной корреляции час­тично сказывается влияние других величин. В связи с этим возни­кает необходимость исследования частной корреляции между ве­личинами при исключении влияния других случайных вели­чин (одной или нескольких).

Выборочный частный коэффициент корреляции определяется по формуле:

(3.22),

где R – алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы R. Частный коэффициент корреляции, так же как и парный коэф­фициент корреляции, изменяется от -1 до +1.

Выражение (3.22) при условии m = 3 будет иметь вид

(3.23).

Коэффициент называется коэффициентом корреляции меж­ду х1, и х2 при фиксированном х₃. Он симметричен относительно первичных индексов 1, 2. Его вторичный индекс 3 относится к фиксированной переменной.

Пример. Вычисление коэффициентов парной, множествен­ной и частной корреляции. В табл. 3.5 представлена информация об объемах продаж и затратах на рекламу одной фирмы, а также индекс потребительских расходов за ряд текущих лет.

1. Построить диаграмму рассеяния (корреляционное поле) для переменных «объем продаж» и «индекс потребительских расходов».

2. Определить степень влияния индекса потребительских рас­ходов на объем продаж (вычислить коэффициент парной корре­ляции).

3. Оценить значимость вычисленного коэффициента парной корреляции.

4. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции по трем переменным.

5. Найти оценку множественного коэффициента корреляции.

6. Найти оценки коэффициентов частной корреляции.

Таблица 3.5.