3.4. Использование регрессии для прогнозирования.

Регрессионные модели могут быть использованы для прогнозирования. Например, предположим, что мы хотим предсказать уровень индекса FТSЕ 100 при росте индекса S&Р 500 до 550 за данный день. Если коэффициенты и составленного уравнения регрессии соответственно равны 196.32 и 5.964, то прогнозное значение индекса FТSЕ 100 составит

Y = 196.32 + (5.964 • 550) = 3477.

Когда мы используем регрессионную модель для прогноза величины Y (в данном случае это уровень индекса РТ8Е 100), располагая величиной X (уровень индекса S&Р 500), мы хотим знать степень доверия к оцениваемому значению. Для этой цели рассчитываются стандартная ошибка оценки, а затем интервал прогнозирования.

Стандартная ошибка оценки, также известная как стандарт­ная ошибка уравнения регрессии, определяется следующим об­разом:

(3.16).

Фактически это среднее квадратическое отклонение всех . Интервал прогнозирования рассчитывается так:

(3.17),

где - это значение Х, используемое для прогноза, т.е. 550 для приведенного выше примера.

В сфере экономики и финансов, как это уже неоднократно подчеркивалось выше, действуют разнообразные связи, которые могут осуществляться, например, в виде материальных и финан­совых потоков между элементами системы, потоков информации между органами и объектами управления. Весьма привлекателен для практика особый тип связей - причинно-следственные.

Причинная связь между парой показателей проявляется в фор­ме изменения значений результативного показателя у (зависимой переменной) под влиянием изменения значений показателя-фак­тора х (независимой переменной). В экономике причинно-след­ственные связи обычно носят стохастический характер, т.е. зависимость между показателями проявляется на фоне случайности, содёржит некоторый элемент неопределенности. Это объясняет­ся тем, что обычно на результативный показатель у оказывает вли­яние большое число факторов, действующих в разных направле­ниях с различной силой. Переплетением этих взаимовлияний и обусловлена неопределенность в проявлении причинно-следствен­ных связей.

В терминах математической статистики стохастическая зависи­мость переменной «у» от переменной «х» определяется как изменение закона распределения случайной величины у при изменении зна­чений случайной величины х.

При такой постановке вопроса для статистического изучения стохастической зависимости необходимо располагать достаточно большими совокупностями наблюдений переменной «у» для каждого значения переменной «х». Обычно в практических исследованиях не удается собрать такую информацию в полном объеме. Поэтому ставится задача изучения и моделирования частного случая сто­хастической связи - связи статистической.

Статистическая связь определяется как изменение математичес­кого ожидания М(у) случайной величины у при изменении значений случайной величины х. При такой постановке задачи изучения причинно-следственных связей не учитываются возможные изме­нения формы закона распределения у при изменении значений случайной величины х. Вместо этого априорно принимается пред­положение о нормальном законе распределения у при каждом зна­чении х. Это положение является одной из важнейших предпосы­лок использования статистических методов моделирования взаимо­связей, в частности корреляционно-регрессионных методов.

В корреляционно-регрессионном анализе в соответствии с по­ложениями математической статистики считается, что в качестве оценки математического ожидания при нормальном законе рас­пределения может быть принято эмпирическое среднее значение случайной величины, поскольку для нормального закона распре­деления оно является и наиболее вероятным. Исходя из этого кор­реляционная связь определяется как изменение условного средне­го значения у(х) случайной величины у при изменении значений случайной величины х. При этом для установления факта нали­чия такой связи между парой показателей и построения ее моде­ли достаточно в качестве исходной информации располагать дан­ными о значениях переменных х и у по соответствующим едини­цам статистической совокупности (пространственные ряды наблюдений) или в последовательные моменты времени (времен­ные ряды наблюдений). Достаточно надежные результаты моде­лирования удается получить, если число наблюдений, составив­ших его информационную базу, не менее 20.

Если каждому значению х соответствует точно определенное значение у, то связь между показателями не является стохастической, а носит детерминированный характер. Такая связь называ­ется функциональной и является предельным случаем корреляци­онной. Изучение функциональных связей не требует использова­ния статистических методов и в данной главе не рассматривается.

Описание именно корреляционной связи лежит в основе ста­тистического моделирования причинно-следственных зависимо­стей и поэтому при интерпретации результатов моделирования следует учитывать все предпосылки и допущения, принятые в корреляционно-регрессионном анализе.

Статистическое моделирование причинно-следственных связей с использованием методов корреляционно-регрессионного анали­за предполагает выполнение следующих этапов:

1. выявление наличия корреляционной связи между показа­телями;

2. подбор аналитической зависимости для описания взаимосвязи и оценка параметров модели регрессии;

3. определение направления и измерение тесноты взаимосвязи между показателями;

4. проверка адекватности полученной модели, оценка величины возможной ошибки;

5. интерпретация результатов моделирования, определение возможностей использования модели для анализа и прогнозиро­вания показателя у в зависимости от значений х.

В данной лекции рассмотрим лишь подробнее первый пункт этих этапов.

3.5. Выявление наличия корреляционной связи между парой показателей и оценка ее тесноты.

Первоначально предположение о наличии причинной связи между показателями обычно базируется на результатах логическо­го анализа финансово-экономических явлений и процессов. Обос­нованность этого предположения можно проверить, используя специальные статистические методы и приемы. Наиболее простым из них является метод сравнения параллельных рядов. Суть метода заключается в сравнении соответствующих значений показателей: если возрастанию (убыванию) значении одного показателя соответ­ствует возрастание (убывание) другого, то между ними возможна прямая взаимосвязь. Так, в табл. 3.4 приведены значения показа­телей, между которыми можно предположить причинную зависи­мость. На эту гипотезу наводит сопоставление динамики этих показателей: чем больше значения х, тем больше у.

Таблица 3.4.

Исходные данные для анализа взаимосвязи между парой показателей.

Предприятие	Уставный капитал, млн руб. (X)	Число акций, выставленных к продаже (У)
1	2954	856
2	2605	720
3	4102	1540
4	2350	760
5	2625	790
6	1795	645
7	2813	824
8	1751	575
9	1700	470
10	2264	697

Представим данные табл. 3.4 графически, для чего будем от­кладывать значения переменных х и у в соответствии с номерами предприятий (рис. 3.3). На графике хорошо видно, как измене­ниям одного показателя соответствуют изменения другого.

Рис. 3.3. Сравнение параллельных динамических рядов.

Еще более наглядное представление о корреляционной зависи­мости, к тому же непосредственно связанное с понятием о ее мо­дели, дает другой график. На нем в прямоугольной системе коор­динат точками представлены данные наблюдений. Координаты точек графика соответствуют значениям показателей: абсцисса - независимой переменной х, ордината - зависимой переменной у. Такой график называется корреляционным полем. На рис. 3.4 кор­реляционное поле отображает зависимость между показателями, приведенными в табл. 3.4. В этом случае точки графика достаточ­но близки к некоторой линии.

Линия, прослеживающаяся в расположении точек корреляци­онного поля, является моделью корреляционной зависимости и называется линией регрессии. В обсуждаемом примере в качестве линии регрессии может быть принята прямая. Она отражает из­менение показателя у, соответствующее изменению показателя-фактора х. Однако далеко не всегда на графике корреляционного поля так четко и однозначно прослеживается связь между пере­менными.

Рис. 3.4. Корреляционное поле.

Если точки на графике корреляционного поля расположились таким образом, что прослеживается некоторая линия либо их рас­положение похоже на наклонный эллипс, то между исследуемы­ми показателями существует корреляционная связь, хаотичное расположение точек свидетельствует об отсутствии связи между показателями. В нашем случае точки графика (см. рис. 3.4) дос­таточно близки к некоторой линии.

Могут встретиться случаи, когда показатели варьируются независимо друг от друга в дос­таточно широком диапазоне, и это проявляется в хаотичном рас­положении точек на графике. Компактное расположение точек параллельно оси ординат свидетельствует о том, что сравнитель­но большая вариация переменной у не может быть обусловлена практически постоянными значениями х. Аналогичный вывод об отсутствии зависимости можно сделать и в третьем случае: несмот­ря на существенное изменение показателя-фактора х, показатель у остается практически неизменным. Могут встретиться более сложные зависимости между показателями x и y, чем в примере, представленном на рис. 3.4. Они могут отражать обратную линейную зависимость, когда с ростом одного из показателей другой убывает; прямую нелинейную зависимость, когда изменение показателей не стро­го пропорционально, и наиболее сложный случай с точки зрения разработки модели - неоднородность исходной совокупности, ког­да внутри изучаемого явления действуют различные закономерно­сти, которые, следовательно, некорректно описывать одной моде­лью. В этом случае исходную совокупность наблюдений необходи­мо предварительно сгруппировать, а затем уже для каждой группы строить собственную модель, иначе модель, построенная для всей совокупности в целом, будет отражать не различные реально суще­ствующие закономерности, а нечто среднее между ними.

Графический метод выявления взаимосвязей между парой по­казателей дает наглядное представление о зависимости между ними, но не позволяет дать ее количественную оценку.

Для измерения тесноты статистической взаимосвязи, например между показателями у и х, наиболее часто используется линейный (парный) коэффициент корреляции:

(3.18).

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Его положительные значения свидетельствуют о пря­мой связи между переменными, отрицательные - об обратной. Близость коэффициента корреляции к нулю свидетельствует о сла­бой связи между переменными и о нецелесообразности ее моде­лирования. В практических исследованиях принято считать связь между переменными слабой, если |r_xy|<0.3; сильной, если | r_xy | > 0.7. Значение линейного коэффициента корреляции для пары показателей, рассматриваемых в табл. 3.4, составляет 0.95, т.е. связь между переменными признается сильной.

Для качественной оценки коэффициента корреляции применяют­ся различные шкалы, наиболее часто - шкала Чеддока. В зависи­мости от значения коэффициента корреляции связь может иметь одну из оценок:

0.1 - 0.3 - слабая;

0.3 - 0.5 - заметная;

0.5 - 0.7 - умеренная;

0.7 - 0.9 - высокая;

0.9 - 1.0 - весьма высокая.

Следует отметить, что величина коэффициента корреляции не является доказательством того, что между исследуемыми призна­ками существует причинно-следственная связь, а представляет собой оценку степени взаимной согласованности в изменениях при­знаков. Для того чтобы установить причинно-следственную зави­симость, необходим анализ качественной природы явлений.

Так как оценка тесноты связи с помощью коэффициента кор­реляции проводится, как правило, на основе более или менее огра­ниченной информации об изучаемом явлении, то возникает во­прос: насколько правомерно наше заключение по выборочным данным о наличии корреляционной связи в той генеральной сово­купности, из которой была извлечена выборка?

В связи с этим и возникает необходимость оценки существен­ности (значимости) линейного коэффициента корреляции, дающая возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность. В зависимости от объема выборочной совокупности предлагаются различные методы оценки существен­ности линейного коэффициента корреляций.

Оценка значимости коэффициента корреляции при малых объемах выборки выполняется с использованием t-критерия Стьюдента. При этом фактическое (наблюдаемое) значение этого критерия определяется по формуле

(3.19).

Вычисленное по этой формуле значение t_набл сравнивается с критическим значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t-критерия Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы (n - 2).

Если t_набл > t_таб, то полученное значение коэффициента корре­ляции признается значимым (т.е. нулевая гипотеза, утвержда­ющая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод, что между исследуемыми пере­менными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Если значение близко к нулю, связь между переменными слабая. Если корреляция между случайными величинами:

• положительная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать;

• отрицательная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем убывать.