Исходные данные

Рыночная цена акции (в руб.) Х	600	625	650	675	700	725	750	775	800	825	850
Объем продаж (в шт.) Y	127	139	147	147	155	154	153	148	146	136	129

Решение.

1. Корреляционное поле, построенное нами, должно проиллюстри­ровать сильную нелинейную взаимосвязь, характеризующуюся не­значительным случайным разбросом.

Коэффициент парной корреляции, r = -0.0155, бесполезен в случае такой нелинейной связи: с его помощью невозможно ре­шить, является связь увеличивающей или уменьшающей, по­скольку в действительности есть и то и другое. В этом случае целе­сообразно использовать корреляционное поле, поскольку оно демонстрирует, что для максимального увеличения объема продаж рыночную цену сле­дует установить равной примерно 700 руб. за штуку. Объем продаж резко падает как при слишком высокой, так и при слишком низкой цене. Этот важный вывод можно сделать, наблюдая на диа­грамме сильную взаимосвязь между объемом продаж акций и их ценой.

Близкое к нулю значение коэффициента кор­реляций может означать как отсутствие взаимосвязи в данных, так и наличие нелинейной взаимосвязи без преобладания направлен­ности вниз или вверх. Сильная нелинейная взаимосвязь может быть даже тогда, когда корреляция близка к нулю.

2. Оценим тесноту связи между объемом продаж и рыночной ценой с помощью корреляционного отношения. Значения результативного признака Y разобьем на пять групп, т.е. k = 5 (табл. 3.3). В основу группировки кладется исследуемый фак­тор X.

Таблица 3.3.

Результаты вычислений.

Номер группы	Количество элементов в j-й группе	Значения , попавшие в j-ю группу	Среднее значение Y в j-й группе
1	2	127; 139	133	(133-143.727)2 = 17689
2	2	147; 147	147	(147-143.727)2 = 21609
3	3	155; 154; 153	154	(154-143.727)2 = 23716
4	2	148; 146	147	(147-143.727)2 = 21609
5	2	136; 139	132,5	(132,5-143.727)2 = 17556.25

Вычислим общую среднюю , используя средние значения в каждой группе (см. табл. 3.3) при этом n = 11:

= (2 • 133 + 2 • 147 + 3 • 154 + 2 • 147 + 2 • 132.5) / 11 = 143.727

Найдем межгрупповую дисперсию: .

Вычислим общую дисперсию: .

Значение = 0.945 свидетельствует о наличии сильного нелинейного влияния рыночной цены акции на объем ее продаж.

Пример. Используя данные таблицы 3.2, построить модель зависимости объема продаж акции от ее рыночной цены. Оценить качество построенной модели.

Решение. Модель должна получиться следующего вида:

.

Рис. 3.3. Зависимость объема продаж акций от их цены.

3.3. Применение регрессионного анализа в хеджировании портфеля ак­тивов.

Цель хеджирования состоит в устранении риска для портфеля ак­тивов. Хеджирование длинной позиции (на покупку) по активу, имеющему риск, достигается занятием короткой позиции (на про­дажу) в некоторой пропорции от стоимости портфеля по другому, но высококоррелированному рискованному активу. Для иллюст­рации этого рассмотрим портфель, имеющий длинную позицию по активу А, которую желательно захеджировать путем занятия короткой позиции по фьючерсному контракту на актив А. До установки хеджа необходимо ответить на два вопроса:

1. По какому инструменту занять короткую позицию?

2. Какую пропорцию от стоимости длинной позиции должна представлять короткая позиция, чтобы минимизировать дис­персию всего портфеля?

На первый вопрос легко ответить, рассмотрев коэффициент корреляции изменений цены длинной позиции и потенциальных кандидатур для короткой позиции. Следует выбрать канди­датуру с наивысшей корреляцией с длинной позицией. В данном примере мы полагаем, что это фьючерсный контракт.

Что касается второго вопроса, пропорция короткой позиции называется коэффициентом хеджирования. Для нахождения этих коэффициентов часто используется МНК регрессия.

Чтобы понять это, рассмотрим снова длинную позицию по облигации с доходом по ней . Определено, что высококорре­лированным инструментом является фьючерс на облигации. До­ход по фьючерсу выражается в виде .

Доходы по захеджированному портфелю, т.е. состоящему из длинной позиции по одной единице облигации и короткой по соответствующей величине h фьючерсного контракта, определя­ются так:

(3.13).

Дисперсия доходов этого портфеля определяется следующим образом:

(3.14).

Для нахождения коэффициента хеджирования h, который минимизирует дисперсию захеджированного портфеля, следует продифференцировать выражение (3.11) по h и приравнять про­изводную к нулю:

В таком случае h равно

(3.15),

т.е. h признается аналогичным - наклону линии регрессии относительно оси абсцисс. Таким образом, коэффициент наклона численно пропорционален коэффициенту хеджирования.