Мультиколлинеарность.

Если некоторые или все независимые переменные в множест­венной регрессии являются высоко коррелированными, то рег­рессионной модели трудно разграничить их отдельные объяс­няющие воздействия на Y. В результате высококоррелирован­ные независимые переменные действуют в одном направле­нии и имеют недостаточно независимое колебание, чтобы дать возможность модели изолировать влияние каждой пере­менной. Не существует точного граничного значения уровня корреляции переменных, при котором возникает проблема мультиколлинеарности. Это явление особенно часто имеет место при ана­лизе фондовых переменных, таких, как доходность и объемы продаж, когда инфляция, например, может повлиять на оба временных ряда.

При мультиколлинеарности коэффициенты регрессии неста­бильны как в отношении статистической значимости, так и по величине и знаку. Следовательно, они ненадежны. Значения ко­эффициентов R² могут быть высокими, но стандартные ошибки тоже высоки, и отсюда t-критерии малы, отражая недостаток значимости.

Для уменьшения мультиколлинеарности может быть принято несколько мер:

1. Увеличивают объем выборки по принципу, что больше данных означает меньшие дисперсии оценок МНК. Проблема реализации этого варианта решения состоит в трудности на­хождения дополнительных данных.

2. Исключают те переменные, которые высококоррелированны с остальными. Проблема здесь заключается в том, что возможно переменные были включены на теоретической основе, и будет неправомочным их исключение только лишь для то­ го, чтобы сделать статистические результаты "лучше".

Фиктивные переменные.

Иногда необходимо включение в регрессионную модель одной или более качественных переменных, например, степени качества управления инвестиционным портфелем. Альтернативно может понадобиться сде­лать качественное различие между наблюдениями одних и тех же данных. Например, если проверяется взаимосвязь между разме­ром компании и ежемесячными доходами по акциям, может быть желательным включение качественной переменной, представ­ляющей месяц январь, по причине хорошо известного "январского эффекта" во временных рядах доходов по ценным бумагам. Данный "январский эффект" - это феномен, заключающийся в том, что средние доходы по акциям, особенно небольших компаний, в среднем выше в январе, чем в другие месяцы. Таким образом, если мы рассматриваем январские на­блюдения как качественно отличные от других наблюдений, фиктивная переменная позволит произвести подобное качественное различие. Фиктивные переменные используются также для отражения действия качественных эффектов изменений политики правительства на анализируемые данные.

3.2. Нелинейная регрессия.

До сих пор обсуждение было сфокусировано на линейной рег­рессии. Однако может случиться так, что взаимосвязь между за­висимой переменной и одной или более независимыми пере­менными будет нелинейной. Существуют два пути решения этой проблемы:

1. преобразовать данные и применить линейную регрессию;

2. применить методы нелинейной регрессии.

а) б) в)

Рис. 3.2. Различные виды нелинейных регрессий.

Методы нелинейной регрессии выходят за рамки нашего курса, так что далее остановимся на преобразовании данных. Графики на рис. 3.2 показывают разнообразные взаимосвязи между Y и X, не являющиеся линейными. Однако при соответст­вующем преобразовании Y, и X взаимосвязь между Y и X мо­жет быть трансформирована в линейную для и . Таким обра­зом, далее можно использовать МНК.

Рассмотрим три нелинейные формы, отображенные на рис. 3.2. На левом графике (а) функциональной формой является , где 0 < < 1; (б) , где > 1; (в) при любом . Преобразование в этих случаях за­ключается во взятии натурального логарифма от левой и правой частях этих уравнений. По­лучающееся уравнение регрессии будет выглядеть так:

Преобразование для графика (в) очень простое, если учесть, что 1/Х может участвовать в расчете как независи­мая переменная.

При всех этих преобразованиях необходимо конвертировать результат в нелинейную форму для его правильного истолкова­ния.

Таким образом, при отклонении парной статистической зависимости от линей­ной коэффициент корреляции теряет свой смысл как характеристика тесноты связи. В этом случае можно воспользоваться таким измерителем связи, как индекс корреляции (корреляционное отноше­ние). Корреляционное отношение применяется в случае нели­нейной зависимости между признаками и определяется через отношение межгрупповой дисперсии к общей дисперсии.

Применение корреляционного отношения возможно, если ха­рактер выборочных данных (количество, плотность расположения на диаграмме рассеяния) допускает, во-первых, их группирование по оси объясняющей переменной и, во-вторых, возможность под­счета «частных» математических ожиданий внутри каждого интер­вала группирования.

Для определения эмпирического корреляционного отношения совокупность значений результативного признака Y разбивают на отдельные группы. В основу группировки кладется исследуемый фактор X. Когда изучаемая совокупность (в виде корреляционной таб­лицы) разбивается на группы по одному (факторному) призна­ку X, то для каждой из этих групп можно вычислить соответству­ющие групповые средние результативного признака. Изменение групповых средних от группы к группе свидетельствует о нали­чии связи результативного признака с факторным признаком, а примерное равенство групповых средних - об отсутствии связи. Следовательно, чем большую роль в общем изменении ре­зультативного признака играет изменение групповых средних (за счет влияния факторного признака), тем сильнее влияние это­го признака.

Приведем методику вычисления корреляционного отношения.

Пусть группирование данных произведено, при этом k - число интервалов группирования по оси х; - количество элементов выборки в j-м интервале группирования; n - объем совокупности ( ); - общее среднее.

1. Вычислим среднее значение Y в j-й группе:

2. Вычислим общую среднюю Y, используя средние значения в каждой группе:

3. Найдем межгрупповую дисперсию и общую дисперсию:

;

Корреляционное отношение зависимой переменной Y по независимой переменной X может быть получено из отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии:

(3.12).

Величина корреляционного отношения изменяется от 0 до 1. Близость ее к нулю говорит об отсутствии связи, близость к единице - о тесной связи.

Как показатель тесноты связи корреляционное отношение име­ет более универсальный характер, чем линейный коэффициент корреляции, поскольку его использование не ограничивается слу­чаями линейной связи, а факторный признак может быть не коли­чественным, а ранговым и даже номинальным.

Пример. Вычисление статистической связи между объемом продаж акции и её ценой.

В табл. 3.2 приведены данные, полученные в результате эксперимента, целью которого являлось определение тесноты связи между объемом продаж акции и ее рыночной ценой.

1. Построить диаграмму рассеяния (корреляционное поле) для этой совокупности данных.

2. Оценить тесноту связи между этими двумя переменными.

Таблица 3.2.