Лекция 3. Методы корреляционно-регрессионного анализа фондового рынка.

С помощью регрессионного анализа строится и проверяется мо­дель связи между одной зависимой (т.е. эндогенной) и одной или более независимыми (экзогенными) переменными. Зависи­мая переменная обычно обозначается Y, а независимая (ые), также называемая регрессором, - X.

Направление причинной связи между переменными опреде­ляется через предварительное обоснование и включается в модель как гипотеза. Регрессионный анализ проверяет статистическую состоятельность модели при данной гипотезе.

Например, предположим, выдвинута гипотеза о том, что уро­вень фондового индекса FТSЕ (FТSЕ 100) линейно зависит от уровня фондового индекса S&Р 500, т.е., когда растет S&Р 500, растет и FТSЕ 100, а когда S&Р 500 падает, падает и FТSЕ 100. Можно проверить эту гипотезу, используя простую линейную регрессию с включением только двух переменных.

Альтернативной гипотезой может быть то, что индекс FТSЕ 100 находится под влиянием не одного фактора, а нескольких. Напри­мер, на текущий уровень FТSЕ 100 могут влиять индекс S&Р 500, уровень рынка облигаций Великобритании и обменный курс $/£. Эта гипотеза может быть проверена с помощью множественной регрессии.

3.1. Простая линейная регрессия.

Применим регрессионный анализ для простой линейной зави­симости между зависимой переменной (Y) и одной независимой переменной (X).

Под линейностью мы имеем в виду, что переменная Y предположительно находится под влиянием переменной X в следую­щей зависимости:

, (3.1)

где

- постоянная, т.е. если бы даже X была равна нулю, Y имела бы какое-либо положительное или отрицательное значение. Можно ли дать разумное объяснение значению Y даже при X равном нулю? Все зависит от гипо­тезы, для которой применяется регрессионный анализ.

- коэффициент регрессии, отражает наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений. Он может быть истолкован как показатель, характеризующий процент­ное изменение переменной Y, которое вызвано измене­нием значения X на единицу. Таким образом, если Y и X - это соответственно индексы FТSЕ 100 и S&Р500, то будет указывать, на какое количество пунктов изме­нится FТSЕ 100 при изменении индекса S&Р 500 на один пункт. Если знак положителен, то переменные положительно коррелированы. При отрицательном зна­ке переменные отрицательно коррелированны;

- ошибка или значение помехи, также называемая остат­ком. Она отражает тот факт, что обычно движение Y бу­дет, по крайней мере, неточно описываться лишь движе­нием X. Присутствуют другие факторы, не включенные в данную модель. Однако если исследуемая гипотеза реалистична, то эти другие переменные должны быть относительно неважными.

Обращаясь снова к взаимосвязи между FТSЕ 100 и S&Р 500, отметим, что индекс FТSЕ 100 - зависимая переменная Y, так как мы выдвинули гипотезу о том, что движение этого индекса нахо­дится под влиянием, т.е. зависит от изменения индекса S&Р 500, который представлен переменной X. В данной гипотезе мы предполагаем, что множество других незначительных и неучтенных влияний представлены в модели величиной .

Если экономические аргументы достаточно сильны, мы мо­жем развить гипотезу о том, что уровень индекса S&Р 500 нахо­дится под влиянием индекса FТSЕ 100. При таком допущении величина индекса S&Р 500 стала бы переменной Y, а индекса FТSЕ 100 - переменой X.

Расположив данные из табл. 3.1 на приведенной ниже точечной диаграмме рассеяния (рис. 3.1), мы действительно видим, что высо­кие (низкие) значения S&Р 500 соответствуют высоким (низким) значениям РТ8Е 100. Таким образом, создается впечатление, что данные по двум индексам растут и падают вместе.

Таблица 3.1

Пример построения линейной регрессии.

FТSЕ 100 (Y)	S&Р 500 (X)
2851,6	442,52	-114,545	-10,726	115,0471	1228,61
2882,6	442,01	-83,545	-11,236	126,2477	938,7116
2878,4	450,3	-87,745	-2,946	8,678916	258,4968
2813,4	442,46	-152,745	-10,786	116,3378	1647,508
2849,2	453,83	-116,945	0,584	0,341056	-68,2959
2888,8	449,02	-77,345	-4,226	17,85908	326,86
2941,7	450,15	-24,445	-3,096	9,585216	75,68172
3085	463,15	118,855	9,904	98,08922	1177,14
3039,3	461,28	73,155	8,034	64,54516	587,7273
3164,4	469,1	198,255	15,854	251,3493	3143,135
3233,2	461,89	267,055	8,644	74,71874	2308,423
= 2966,14	= 453,25
Сумма:				882,7993	11624

Однако фактические данные не говорят нам ничего о причинной связи. Наше понимание причинной связи исходит из предварительно выдвинутой гипотезы. Как мы заметили в одном из предыдущих абзацев, указание на причину и следствие, т.е. на то, что является зависимой, а что независимой переменной, оп­ределяется выдвинутой гипотезой.

Для иллюстрации этого вернемся снова к гипотезе о том, что уровень FТSЕ 100 находится под влиянием уровня S&Р 500. Фак­тические данные подтверждают эту идею, но поддержит ли ее наше понимание экономики финансов? S&Р 500 может влиять на FТSЕ 100 из-за огромного масштаба экономики США и меж­дународного оборота капитала. Однако альтернативное предпо­ложение заключается в том, что, так как оба рынка открыты для международных инвесторов, они оба могут находиться под влия­нием третьего фактора, может быть, ожидания японских или ев­ропейских инвесторов.

Рис. 3.1. Динамика индексов FТSЕ 100 и S&Р 500.

Ясно, что независимо от регрессионной модели необходимо развивать гипотезу для того, чтобы регрессионный анализ смог обоснованно подтвердить или не подтвердить ее. Регрессионный анализ не в состоянии "доказать" гипотезу, он может лишь под­твердить ее статистически или отвергнуть.

Обращаясь к диаграмме рассеяния (рис. 3.1), отметим, что через точки на графике можно провести несколько прямых ли­ний, удовлетворяющих выражению (3.1), хотя в действительно­сти невозможно построить одну прямую линию, которая прой­дет через все точки корреляционного поля. Отсюда очевидно, что нужно выбрать лишь одну линию.