18. Вычисление площадей плоских фигур с помощью интегралов.

Одной из основных задач, приводящих к понятию определенного интеграла, является задача о площади криволинейной трапеции, т. е. фигуры G, задаваемой на плоскости Оху условиями

G = {(x,y): a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}, (12)

где f(x) — функция, непрерывная на отрезке [а, b].

Утверждение 1. Криволинейная трапеция G - квадрируемая фигура, площадь которой S = S(G) выражается формулой

S = dx. (13)

Пусть T = { , i = } — разбиение отрезка [а, b], и - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке

= [ , ], Δ = — , i = .

Рассмотрим клеточную фигуру q, составленную из прямоугольников [i = .), таких, что длина основания i-го прямоугольника равна Δ , а высота равна .

Аналогично определяется клеточная фигура Q, составленная из фигур , где — прямоугольник, длина основания которого Δ , а высота , i = .

Очевидно, q ⊂G ⊂ Q, площади фигур q и Q соответственно равны

S(q) = Δ , S(Q) = Δ ,

Заметим, что

S(q) = , S(Q) = , (14)

где и — соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для функции f при разбиении Т отрезка [а;b]. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то в силу критерия интегрируемости для любого ε > 0 найдется такое разбиение Т этого отрезка, что

О ≤ - < ε.

Иными словами (см. равенства (14)), существуют клеточные фигуры q и Q такие, что

q⊂G⊂Q, 0 ≤ S(Q) - S(q) < ε,

т. е. выполняются условия (1), (2). Это означает, что G — квадрируемая фигура и согласно теореме 1 справедливо равенство (4), которое в силу равенств (14) можно записать в виде

S(G) =sup = inf . (15)

Используя следствие из теоремы 2, получаем

sup = inf = dx. (16)

Из (15) и (16) следует, что площадь S = S(G) криволинейной трапеции G выражается формулой (13).

Замечание 3. Площадь S фигуры G была определена как предел интегральной суммы σT(ε) = Δ при l{Т) 0 при условии, что этот предел не зависит от разбиения Т и выборки ε = { , i = } }, где ∈ . Для непрерывной на отрезке [а, b] функции = dx, и поэтому оба определения площади приводят к одному и тому же результату.

Рассмотрим теперь фигуру D (рис. 5), ограниченную отрезками прямых х=а и х=b и графиками непрерывных на отрезке [а,b]

Рисунок 5

функций у = (x) и у = (x), где (x) ≤ (x) при х∈[а,b]. Если (x) ≥ 0 для всех х∈[а, b], то площадь фигуры D равна разности площадей криволинейных трапеций и , где = {(х,у): а ≤ x ≤b, 0 ≤ y ≤ (x)}, i = 1, 2. Поэтому площадь фигуры D выражается формулой

= dx. (17)

Формула (17) остается в силе и в случае, когда не выполняется условие f1(x) ≥ 0 для всех х∈[а,b]. Чтобы убедиться в этом, достаточно сдвинуть фигуру D вдоль положительного направления оси на = | | и воспользоваться тем, что площади равных фигур совпадают[14].

19. Вычисление объемов тел вращения с помощью интегралов.

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Определение. Объем тела может быть вычислен по формуле , где S( )-площадь попереного сечения тела T плоскостью x= . в частности, если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oх, то , а если вокруг оси Оу, то [5].

а) Тело и его объем. Произвольное ограниченное множество точек пространства будем называть телом.

Основные определения и утверждения, относящиеся к телам, аналогичны соответствующим определениям и утверждениям, содержащимся в главе 4 нашей курсовой работы. Поэтому некоторые утверждения для тел (см. теоремы 1 и 2) будут опущены.

По аналогии с понятием клеточной фигуры назовем тело клеточным, если его можно представить как объединение конечного числа непересекающихся параллелепипедов, т. е. тел вида М = {{x,y,z): ≤ х ≤ , ≤у ≤ , ≤ z ≤ }, а также тел, получаемых из М удалением части границы (или всей границы) тела М. Объемом параллелепипеда М назовем число ( — )( — )( — ), а объемом клеточного тела — сумму объемов составляющих его параллелепипедов[14].

Рассмотрим подробнее. Пусть требуется найти объем V тела (рис 14), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox:S = S(x), a≤ x≤ b[13].

Рисунок 14.

1. Через произвольную точку x [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой

“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

3. Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:

V = S(x) dx

Объем тела вращения

Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), имеет объем

.

Рисунок 6

Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [a;b] на n частей точками a= . На каждом частичном отрезке [ ] построим прямоугольник (рис. 15). При вращении вокруг оси Ox каждый прямоугольник опишет цилиндр. Найдем объем i-го цилиндра, образованного вращением прямоугольника PMNQ:

,

где .

Сумма объемов всех n цилиндров приближенно равна объему данного тела вращения:

.

С другой стороны эта сумма является интегральной суммой для интеграла . Так как функция непрерывна на [a;b], то предел этой суммы при

существует и равен определенному интегралу . Таким образом,

[15].