17. Несобственные интегралы от разрывных функций.

Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл

значение которого равняется левостороннему пределу Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при ) исчерпание плошади неограниченной фигуры под графиком функции над с помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком , а затем приближением правого конца к точке (см. рис.).

Итак, площадь неограниченной фигуры, изображённой на рисунке, по определению равна значению несобственного интеграла .

Аналогично интегралу по полуинтервалу от функции с особенностью в точке , определяется несобственный интеграл второго рода от функции , имеющей особенность в точке полуинтервала : если существует предел В случае существования указанного предела интеграл называется сходящимся, а в случае, когда предел не существует, -- расходящимся. Свойства несобственных интегралов второго рода

Свойства несобственных интегралов второго рода, по сути дела, повторяют свойства несобственных интегралов первого рода: меняется лишь база предела, задающего несобственный интеграл, с для интеграла на для интеграла от функции с особенностью в точке : Теорема 4.5   Пусть фиксированы числа и функция интегрируема на любом отрезке , где , и имеет особенность в точке . Тогда если несобственный интеграл сходится, то при любом сходится интеграл . Обратно, если при некотором сходится интеграл , то сходится и интеграл . Доказательство. Докажем, что из сходимости следует сходимость при . Из аддитивности интеграла следует, что при любом имеет место равенство

(4.4*)

Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем:

причём несобственный интеграл в правой части сходится по условию теоремы, а интеграл  -- постоянное слагаемое. Значит, предел, задающий интеграл , существует и равен . Докажем второе утверждение теоремы, используя формулу (4.4*). По условию теоремы интеграл по отрезку , не содержащему особенностей функции, существует, так что при любом из формулы (4.4*) получаем:

Перейдём к пределу при и получим, что

Теорема 4.6 (теоpема сpавнения)   Пусть даны две функции и , заданные на и имеющие особенность в точке , причём при всех выполняется неравенство Тогда из сходимости интеграла от большей функции следует сходимость интеграла от меньшей функции, причём

(4.5)

а из расходимости интеграла от меньшей функции, следует расходимость интеграла от большей функции:

Теорему 4.6 можно использовать для исследования сходимости интегралов, не вычисляя их значений. Теорема 4.7   Пусть функция имеет особенность в точке . Если интеграл сходится, то сходится также интеграл причём имеет место неравенство Определение 4.8   Пусть функция обладает теми же свойствами, что в предыдущей теореме. Если несобственный интеграл сходится, то несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся. Если несобственный интеграл расходится, а несобственный интеграл сходится, а несобственный интеграл называется условно сходящимся. Предыдущая теорема означает, что любой абсолютно сходящийся интеграл является сходящимся. Теорема 4.8   Пусть для функции , имеющей особенность в точке и интегрируемой на любом отрезке , где , существует мажоранта на , причём несобственный интеграл сходится. Тогда несобственный интеграл тоже сходится, и .