14. Методы интегрирования определенных интегралов заменой переменной и по частым.

Метод замены переменной в определенном интеграле

Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывна на , причем , и для всех выполняется . Тогда

.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение.

Обозначим , тогда , . Подставим старые пределы интегрирования в формулу , получим новые пределы интегрирования , . Следовательно,

2. Метод интегрирования по частям

Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример.

15. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

При построении определенного интеграла предполагалось, что выполняется два условия:

пределы интегрирования и конечны;

подынтегральная функция ограничена на отрезке интегрирования .

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от неограниченных функций называются несобственными интегралами.

Пусть определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке , где .

Несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования (интегралом 1-го рода) называется предел интеграла при :

.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предел не существует или равен , то расходящимся.

Пусть - первообразная функция для на промежутке . Тогда можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

.

Обозначая , формулу можно записать так:

.

Пример 7. .

Данный интеграл является сходящимся.

Геометрически несобственный интеграл от дает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху линией , слева , снизу осью ОХ. Если интеграл сходится – площадь конечна, а если расходится – площадь бесконечна.

0

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом:

и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:

.

Пример 8.

Данный интеграл является сходящимся.

16. Признаки сходимости несобственных интегралов.

Общий признак сравнения. Пусть на полупрямой

Тогда из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла Доказательство. Пусть сходится. Тогда, согласно критерию Коши, для любого найдется такое В>а, что для любых А1>В и А2>В выполняется неравенство . Согласно известным неравенствам для интегралов и неравенству получим Отсюда и из неравенства вытекает, что для любых А1>В и А2>В справедливо неравенство . Следовательно, интеграл сходится.

Частный признак сравнения. Пусть на полупрямой функция f(x) удовлетворяет соотношению , где с и — постоянные, >1. Тогда интеграл сходится. Если же существует такая постоянная с>0, что на полупрямой справедливо соотношение , в котором , то интеграл расходится.

Утверждение этой теоремы вытекает из утверждения общего признака сравнения. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегра­лов. Введем понятия абсолютной и условной сходимости интегралов. Пусть f(x) интегрируема по любому сегменту [а, A] .

Определение 1. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится

Определение 2. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а ин-теграл расходится.