Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, свойства их решений. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка.
Уравнения вида
,
где
-
заданные функции (от х), называется
линейным дифференциальным уравнением
n-го порядка.
Оно
содержит искомую функцию у и все ее
производные лишь в первой степени.
Функции
называются
коэффициентами уравнения, а функция
g(x)
– его свободным членом.
Если свободный член g(x)=0, то уравнение называется линейным однородным уравнением, иначе – неоднородным.
Разделив
уравнение
на
и
обозначив
запишем уравнение
в виде приведенного:
Рассмотрим ЛОДУ второго порядка:
И установим некоторые свойства его решений.
Теорема:
Если
функции
и
являются частными решениями уравнения
,
то решением этого уравнения является
также функция
,
где и - произвольные постоянные.
Подставим
функцию
и ее производные в левую часть ЛОДУ
.
Получаем:
так
как функции
и
-
решения уравнения
и, значит, выражения в скобках тождественно
равны 0.
Таким образом, функция также является решением уравнения .
Из теоремы, как следствие, вытекает, что если и - решения уравнения ,
То решениями его будут также функции у= + и у=с .
Функция содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения .
А для ответа на вопрос, может ли эта функция являться общим решением, введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.
Функции и называются линейно независимыми на интервале (a;b), если равенство
,
где
,
R,
выполняется тогда и только тогда, когда
=
=0.
Если хотя бы одно из чисел или отлично от 0 и выполняется равенство , то функции и называются линейно зависимыми.
Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан.
Для двух дифференцируемых функций и вронскиан имеет вид
W(x)=
.
Имеют место следующие теоремы.
Теорема: Если дифференцируемые функции (х) и (х) линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен 0.
Так
как функции
и
линейно зависимы, то в равенстве
значение
или
отлично от 0. Пусть
0,
тогда
=
;
поэтому для любого х
(a;b)
W(x)=
=0.
Теорема: Если функции (х) и (х) - линейно независимые решения уравнения на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения однородного уравнения.
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка
,
Где p и q постоянны.
Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти два его частных решений, образующих фундаментальную систему.
Будем искать частные решения уравнения в виде
,
где
k – некоторое число.
Дифференцируя эту функцию 2 раза и
подставляя выражения для у, у’ и
у’’ в уравнение
,
получим:
,
т.е.
,
или
=0
(
).
Уравнение =0 ( ) называется характеристическим уравнением ДУ .
При его решении возможны следующие три случая
Случай 1:
Корни уравнения
и
уравнения
=0
(
).
Действительные и различные:
(D =
- q > 0).
В
этом случае частными решениями уравнения
являются функции
=
и
=
.
Они образуют фундаментальную систему
решений (линейно независимы), т.к. их
вронскиан
W(x)
=
=
Следовательно, общее решение уравнения ,
Случай 2:
Корни
и
характеристического уравнения
=0
(
),
действительные равные:
.
В
этом случае имеем лишь одно частное
решение
.
Покажем,
что наряду с
решением уравнения
будет
и
.
Действительно,
подставим функцию
в уравнение
.
Имеем:
+
Но
,
т.к.
есть корень уравнения
=0
(
)
;
,
т.к. по условию
.
Поэтому
,
т.е. функция
является решением уравнения
.
Частные
решения
и
образуют фундаментальную систему
решений:
.
Следовательно, в этом случае общее
решение ЛОДУ
имеет вид
Случай
3: Корни
и
уравнения
=0
(
)
комплексные:
,
В
этом случае частными решениями уравнения
являются функции
и
.
По формулам Эйлера:
,
Имеем
,
.
Найдем два действительных частных решения уравнения . Для этого составим две линейные комбинации решений для и :
и
.
Функции
и
являются решениями уравнения
,
что следует из свойств решений ЛОДУ
второго порядка. Эти решения
и
образуют фундаментальную систему
решений, т.к.
.
Поэтому общее решение данного уравнения
запишется в виде
или
