26. Линейные дифференциальные уравнения, решение методом замены переменной и методом вариации произвольной постоянной.

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида: (1),

где – неизвестная функция аргумента.

Уравнение (1) линейно относительно и .

Если , то уравнение (1) примет вид: (2), и называется линейным однородным. При этом уравнение (1) называется линейным неоднородным.

Уравнение (2) называется линейным однородным, соответствующим линейному неоднородному уравнению (1).

А. Интегрирование линейного однородного уравнения

Рассмотрим линейное однородное уравнение (2)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть , тогда . (3)

Отсюда общий интеграл или

заменяем на

Но есть любое число, кроме нуля. Положим .

– произвольная постоянная (4). Это общее решение не содержит функции , которая является решением уравнения (2). Для того чтобы общее решение содержало бы все решения, его надо записать в виде: (5),

где С – произвольная постоянная, принимающая любые значения.

Пример. Написать общее решение уравнения .

Решение. Имеем . Поэтому (произвольную постоянную можно считать = 0). И – общее решение.

В. Интегрирование линейного неоднородного уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (1)

Для его интегрирования применим метод вариации произвольной постоянной. Положим (6)

Здесь решение ищется в такой же форме, как для однородного уравнения, но вместо произвольной постоянной стоит функция – новая неизвестная функция. Для ее определения подставляем y, определенное по (6), в (1).

или .

Отсюда

Следовательно, . (7)

Это и есть общее решение уравнения (1). Оно содержит все решения. Особых решений нет.

Рассмотрим вопрос об отношении частного решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию . (8)

Теорема. Решением задачи Коши служит функция:

. (9)

Замечания:

1. Формулу (9) можно записать короче, если ввести под интеграл:

(10)

2. Если в формуле (10) считать произвольной постоянной (при этом значение безразлично какое), то формула (10) определит общее решение уравнения (1).

3. Запоминать формулу (10) не следует. Надо помнить способ получения формулы (7).

Примеры:

1. Найти общее решение уравнения

Решение. Здесь . Вычислим (С можно положить = 0).

Положим . Так как , то .

Подставляем в уравнение .

Отсюда .

Следовательно, общее решение будет

Теорема. (о структуре решения линейного неоднородного уравнения)

Общее решение линейного неоднородного уравнения состоит из суммы: какого-либо частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения.

27. Уравнение Бернулли, его решение. Уравнение в полных дифференциалах и его решение.

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

, (1)

где n – любое число, не обязательно целое.

При уравнение Бернулли превращается в линейное неоднородное уравнение. При оно превращается в линейное однородное уравнение.

Таким образом, уравнение Бернулли служит некоторым обобщением линейных уравнений, в общем случае оно является нелинейным дифференциальным уравнением (при и ).

Однако во всех случаях его решение тесно связано с решением линейного уравнения.

Теорема. Пусть и . Тогда уравнение Бернулли (1) подстановкою сводится к решению линейного уравнения (для функции z).

Замечание. Уравнение Бернулли (1) может быть решено другим способом. Введем вместо неизвестной функции две неизвестные функции и , такие, что . (7)

Подставляя это в уравнение (1), получим:

(8)

Из этого одного уравнения определить две функции u и v нельзя.

Для того, чтобы определить конкретные функции и , необходимо задать еще одну зависимость между и , причем вообще говоря, произвольную.

Но проще всего положить . (9)

Тогда уравнение (8) примет вид: или, считая (или, что то же, ) . (10)

Так как есть решение однородного линейного уравнения (9), то его можно считать его известным: . (11)

Здесь, при интегрировании уравнения (8), мы положили произвольную постоянную . Это можно делать, так как за функцию мы можем взять любое решение уравнения (9).

Итак, известно. Отсюда следует, что уравнение (10) для определения будет с разделяющимися переменными (считаем ). (12)

Отсюда получаем : или (13)

Формулы (11) и (13) позволяют построить решение уравнения Бернулли

.

Такой способ решения годится и для и . В этом случае только формула (13) будет иметь другой вид, именно: , где С – произвольная постоянная.

Пример. или .

Это уравнение Бернулли. Здесь .

Преобразуем уравнение, разделив его на : .

Положим , тогда .

Следовательно, или .

Отсюда .

и – особое решение.

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой

где C − произвольная постоянная.

Необходимое и достаточное условие

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D. Дифференциальное уравнение P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство:

Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:

           

2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y):

           

3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:

           

4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение:

           

Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ(y):

           

5. Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y) и, следовательно, функцию u(x,y):

           

6. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:

           

Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ(x). 

28. Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании единственности решения. Уравнения вида y⁽ⁿ⁾=f(x). Уравнения второго порядка, приводимые к уравнениям первого порядка.

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде

F(x;y;y’;y’’)=0

Или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

y’’=f(x;y;y’).

Решением ДУ y’’=f(x;y;y’) называется всякая функция у= , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ y’’=f(x;y;y’) называется функция у= , где и - не зависящие от х произвольные постоянные.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ n-го порядка, которое в общем виде записывается как F(x;y;y’;y’’;…; )=0.

Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим 3 типа уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Пусть дано уравнение y’’=f(x). Порядок можно понизить, введя новую функцию p(x), положив y’=p(x). Тогда y’’=p’(x) и получаем ДУ первого порядка: p’=f(x). Решив его, т.е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение у’=р(х). Получим общее решение заданного уравнения y’’=f(x).

2. Пусть дано уравнение y’’=f(x;y’), не содержащее явно искомой функции у.

Обозначим у’=р, где р=р(х) – новая неизвестная функция. Тогда у’’=p’ и уравнение y’’=f(x;y’) принимает вид р’=f(x;p). Пусть р= - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на у’, получаем ДУ: y’= . Оно имеет вид y’’=f(x). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения y’’=f(x;y’) будет иметь вид

у= .

Частным случаем уравнения y’’=f(x;y’) является уравнение y’’=f(y’), не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: y’=p(x), y’’=p’= . Получаем уравнение p’=f(p) с разделяющимися переменными.

3. Рассмотрим уравнение y’’=f(y;y’), которое не содержит явно

независимой переменной х.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(у), зависящую от переменной у, полагая y’=p. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р=р(у(х)):

, т.е. = . Теперь уравнение y’’=f(y;y’) запишется в виде =f(y;p).

Пусть р= является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(у) на y’, получаем y’= - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения y’’=f(y;y’):

.

Частным случаем уравнения y’’=f(y;y’) является ДУ y’’=f(y). Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: y’=p(y), y’’= .

Теорема (Коши)

Пусть удовлетворяет условиям:

1) непрерывна в прямоугольнике K: , тогда в K ограничена, то найдется такое (3)

2. удовлетворяет в K условию Липшица

(4)

Т огда в интервале: (5)

дифференциальное уравнение (6)

обладает единственным решением , таким, что .

Замечания:

1. Для существования решения достаточно непрерывности в K.

2. Для единственности решения требуется выполнение условия Липшица (4), которое может быть заменено более жестким условием существования в K непрерывной .

3. При доказательстве теоремы рассматривается задача Коши: , (7)

которая заменяется эквивалентным ей интегральным уравнением . (8)

Затем к уравнению (8) применяется так называемый метод последовательных приближений Пикара. Он состоит в том, что строится последовательность функций сходящаяся к решению уравнения (8). Функции строятся по следующему правилу: за исходное приближение принимается , а следующие вычисляются по формуле: . (9)

Это есть рабочая формула для построения приближенного решения по методу последовательных приближений.

4. Д опустим интегральная кривая построена на интервале . Возьмем конечную точку за центр нового прямоугольника и продолжим решение вправо. Поступая так, каждый раз, можно продолжить решение (интегральную кривую) до самой границы области G задания функции (в предположении, что G конечна и замкнута).

Мы построили интегральную кривую, проходящую через точку . Можно выбрать любую другую точку и опять получим единственную интегральную кривую. Таким образом, область G как бы состоит из интегральных кривых.

Т еорема. Если определена и непрерывна на всей плоскости и удовлетворяет условию Липшица во всякой конечной области этой плоскости, то всякая интегральная кривая при возрастании или продолжима до или имеет вертикальную асимптоту при конечном значении , т.е. интегральная кривая не может окончится где-то внутри области.

Пример. .

Здесь удовлетворяет всем условиям теоремы. Решением задачи Коши будет . Решение имеет вертикальные асимптоты .

5. Те точки области G, в которых функция неопределена или перестает быть непрерывной или не выполняется условие Липшица, называются особыми точками уравнения . Таким образом, особые точки это те точки, в которых нарушаются условия теоремы существования и единственности. Особые точки могут быть изолированными, а могут составлять и целые области.