22. Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов.

Двойным интегралом называют кратный интеграл с  .

. Здесь   — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах:  , где   — элемент площади в прямоугольных координатах.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть функция   принимает в области   только положительные значения. Тогда двойной интеграл   численно равен объему   вертикального цилиндрического тела, построенного на основании   и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности  .

Физический смысл

Если рассматривать перемещение, то первая производная - скорость, вторая - ускорение. Соответственно, интеграл от ускорения - это скорость, двойной интеграл - перемещение. Если рассмотреть график ускорения, то двойной интеграл от него - площадь под графиком.

Область D называется правильной в направлении оси OY (ОХ), если любая прямая, параллельная оси OY(OX) и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает ее границу в двух точках.

Рис. 23.3

Рис. 23.4

Граница области D, правильной в направлении оси OY (рис. 23.3), может быть задана уравнениями

 и двойной интеграл в этом случае вычисляется по формуле

 (23.5)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл

в котором х считается постоянной. Выражение справа в (23.5) называется повторным, или двукратным интегралом.

Граница области D, правильной в направлении оси ОХ (рис. 23.4), может быть задана уравнениями:

 Тогда двойной интеграл вычисляется по формуле

 (23.6)

Если область D правильная в направлении ОХ и OY (правильная область), то применимы обе формулы.

Рассмотрим геометрический смысл формулы (23.5), для формулы (23.6) рассуждения аналогичные (вывод формул приведен в [6. С. 310]).

Предположим, что и граница области D является правильной в направлении оси OY.

Из разд. 23.1

Подсчитаем теперь объем V методом поперечных сечений (см. п.18.2.1):

 (23.7)

Проводя через т. (х,0,0) плоскость перпендикулярно оси ОХ, получим в сечении криволинейную трапецию

(рис. 23.5), с площадью

для точек линии при постоянном х зависит только от у:

 - (23.8)

площадь поперечного сечения цилиндрического тела. Подставляя (23.8) в (23.7), получаем

Рис. 23.5

Таким образом, в формуле (23.7) слева и справа имеем объем цилиндрического тела.

Формулы (23.5) и (23.6) выведены в предположении, что область имеет специальный вид.

В общем случае область D разбивают на конечное число частей, являющихся правильными, и вычисляют для каждой из частей интеграл по формуле (23.5) или (23.6). Интеграл по всей области (свойство 3°) равен сумме полученных интегралов.

Если область ГУ. то формулы (23.5) и (23.6)

примут вид

Пример:

Решение разбивается на три этапа:

1) построение области D;

2)  переход к повторному интегралу, расстановка пределов интегрирован ия;

3)  вычисление повторного интеграла.

Решая систему находим т. пересечения параболы

и прямой (1, 1), (-2, 4). Строим область, (-2, 4) D (рис. 23.6). Так как область правильная, то можно воспользоваться формулами (23.5) и (23.6).

При решении по (23.5) область придется разбить на две: ОВС и СВА, так как линия ОБА задается разными уравнениями:

Рис. 23.6

При вычислении по формуле (23.6) приходим к одному повторному интегралу Закончим решение, пользуясь последней формулой: