Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D = 0 равно:
Взаимное расположение плоскостей
Утверждение 1. Для того чтобы плоскости
и
,
заданные своими общими уравнениями были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
.
Это вытекает из того, что если плоскости перпендикулярны, то и их вектора нормалей перпендикулярны.
Например:
и
.
Тогда
.
Плоскости перпендикулярны.
Утверждение 2. Для того чтобы плоскости
и
,
заданные своими общими уравнениями были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
.
Это вытекает из того, что если плоскости параллельны, то и их вектора нормалей параллельны.
Например:
и
.
Тогда
.
Плоскости параллельны.
Утверждение 3. Для того чтобы плоскости
и
,
заданные своими общими уравнениями совпадали, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
.
То есть надо, чтобы были пропорциональны все коэффициенты уравнений. Тогда, одно уравнение можно превратить в другое, умножением левой и правой части на одно и тоже число.
Например:
и
.
Эти два уравнения описывают одну и туже
плоскость, так как второе можно получить
из первого, путем умножения на 2 левой2
и правой части.
Уравнение прямой в , проходящей через данную точку , параллельно данному вектору , имеет вид:
.
Вектору , называется направляющим вектором прямой.
Например:
,
Тогда уравнение прямой имеет вид:
.
Уравнение прямой в , проходящей через две данные точки и , имеет вид:
.
Здесь направляющим
вектором прямой является вектор
,
соединяющий точки
и
,
и лежащий непосредственно на прямой.
Например:
,
Тогда уравнение прямой имеет вид:
;
.